Problema di probabilità (teorema di Bayes)

[Matte]

Il gruppo sanguigno A può donare ai gruppi A, AB. Il gruppo B può donare ai gruppi B, AB. Il gruppo AB può donare solo al gruppo AB. Il gruppo O può donare a tutti. Supponiamo che in una regione le proporzioni siano: per il gruppo A il 21%; per il gruppo B il 43%; per il gruppo AB il 10%; per il gruppo O il 26%. Trova: a) la probabilità che un donatore a caso possa donare il sangue a una persona a caso; b) la probabilità che, se un donatore può donare a un altro, allora quel donatore sia del gruppo B.

Nel primo quesito non ho avuto nessun problema, perchè ho calcolato le probabilità seguenti:
$P(D|O)= 1$
$P(D|A)= 0.31$
$P(D|B)= 0.53$
$P(D|AB)= 0.10$

In seguito attraverso il teorema della probabilità totale ho ottenuto $P(D)= 0.563$ e di conseguenza il primo quesito è risolto.
Per quanto riguarda il secondo quesito, se non ho capito male la domanda è trovare $P(B|D)$
Io di conseguenza ho applicato il teorema di Bayes, facendo $P(B|D)= (P(D|B) * P(B))/ (P(D|B) * P(B) + P(D|B^C) * P(B^C))$
Quindi ho $((0.53 * 0.43)/ (0.53 * 0.43 + 0.47 * 0.57))$ e ottengo come risultato $0.459$.. che è diverso dal risultato del libro che è $0.405$. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

[superpippone]

Ti sei impelagato in calcoli inutili.....

Per ottenere $0,563$ hai già fatto tutti i calcoli....
A=0,0651
B=0,2279
AB=0,01
O=0,26

Basta fare $(0,2279)/(0,563)=0,405$

[Matte]

Si hai ragione, dovevo applicare in questo caso la forma più semplificata del Teorema di Bayes come hai fatto tu. Grazie mille!