esercizio su prove ripetute

[maluz]

salve a tutti,
Ho un esercizio in cui : Un arciere ha una probabilità pari a 0.22 di colpire una mela alla distanza di 101 metri. Si è interessati a studiare il fenomeno “l’arciere colpisce la mela, per la prima volta, all’n-esimo tentativo” sotto l’assunzione che ogni tentativo sia indipendente (stocasticamente) dai precedenti.

-Qual è la probabilità che egli colpisca la mela al 7 tentativo
-Qual è la probabilità che siano necessari più di 6 tentativi
-Quanti tentativi deve fare per avere una probabilità almeno pari a 0.7 di colpire almeno una volta il disco

il primo punto è piuttosto semplice e il calcolo dovrebbe essere:
$ (0.78)^6 * 0.22 $

Per il secondo punto avrei già un dubbio: io l'ho risolto in questo modo, considerando la probabilità di avere almeno 6 errori
$ 1 - ((0.22)+(0.78*0.22)+(0.78^2*0.22)+(0.78^3*0.22)+(0.78^4*0.22)+(0.78^5*0.22)) $
ma ho scoperto che è la stessa cosa che dire
$ 0.78^6 $
Perchè?

Per l'ultimo punto sono invece quasi sicuro di averlo sbagliato, ho ragionato impostando l'equazione:
$ 0.7 = 1 - (0.78^x) $

ma non sono molto sicuro dell' $ 1- $. potreste aiutarmi su questi due punti? grazie

[maluz]

up

[superpippone]

Il primo è giusto.

Per il secondo "Qual è la probabilità che siano necessari più di 6 tentativi (per il primo centro)?"
Vuol dire che i primi 6 devono essere sbagliati $0,78^6$. Quel che succede dal settmo in poi, non ci interessa...

Il tezo è anche giusto.
P.S. Ricordati di arrotondare al lancio superiore....

[maluz]

ok, grazie mille!

[tommik]

Per la precisione, al punto 3) una disequazione non guasterebbe....vista la traccia

$1-0,78^x>=0.7$

$x>=ceil((log0.3)/(log0.78))=5$

ovvero $x>=5$

e se ti chiedesse invece di calcolare la media del numero di tiri necessari per colpire il bersaglio?

[maluz]

la distribuzione di probabilità non l'ho ancora studiata purtroppo, per curiosità come si fa?

[tommik]

le studierai sicuramente.....ad ogni modo si fa così:

La distribuzione geometrica è definita così:

$P(X=x)=q^(x-1) p$ ; $x=1,2,......$

dove $q=(1-p)$

E' evidente che questa distribuzione caratterizza perfettamente l'esperimento descritto nella traccia con $p=0.22$ e $q=0.78$

la definzione di media di variabile discreta è questa $E[X]=sum_(x) xp(x)$ e quindi nel nostro caso abbiamo:

$E[X]=sum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(oo)xq^(x-1)=p sum_(x=1)^(oo)d/(dq)q^x=p d/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=$

$= pd/(dq) q/(1-q)=p 1/(1-q)^2=p/p^2=1/p$

fine