Calcolo del coefficiente di correlazione

[Redhead]

Ciao ragazzi, sono bloccato nella risoluzione di questo esercizio:

Date due variabili aleatore X e Y, con pdf congiunta \(\displaystyle f(x,y)=1 \) con \(\displaystyle 0<=x<=1 , x<=y<=x+1 \) calcolare il coefficiente di correlazione tra X ed Y.

Il mio procedimento è stato molto meccanico: ho calcolato le due pdf marginali fx e fy integrando per una da x a x+1 e per l'altra da 0 a 1 la pdf congiunta. Poi ho calcolato le statistiche marginali di cui avevo bisogno, ovvero le due deviazioni standard e la covarianza, per poi poter calcolare il coefficiente di correlazione.
Il coefficiente di correlazione dovrebbe essere uguale a \(\displaystyle 1/sqrt(2) \) , cosa che non trovo usando il mio procedimento.

[tommik]

mo' lo guardiamo....scriviamo per bene il dominio.

${{: ( 0<x<1 ),( x<y<x+1 ) :}$

l'errore bloccante è nel calcolo della marginale $f(y)$. Tu hai integrato $int_(0)^(1)dx$ ma ciò è sbagliato perché così facendo integri su un rettangolo mentre il dominio della congiunta è un parallelogramma.



Osservando bene il dominio si vede subito che gli estremi di integrazione sul supporto della variabile x sono i seguenti:

$f(y)=int_(0)^(y)dx=y$ per $0<y<1$

$f(y)=int_(y-1)^(1)dx=2-y$ per $1<=y<2$

Quindi in definitiva abbiamo

$f_(Y)(y)-={{: ( y , ;0<=y<1 ),( 2-y , ;1<=y<=2 ),( 0 , ; a l t r o v e ) :}$

ovvero y è una distribuzione triangolare. Ora puoi procedere come hai fatto, ovvero calcolando media e varianza di Y ecc ecc.

Questo però non è il procedimento più efficiente per risolvere l'esercizio. Io farei così:

Per quanto riguarda la $f(x)$, come hai fatto tu, si vede subito che è uniforme $U(0;1)$ e quindi $E[X]=1/2$ e $V[X]=1/12$ senza fare conti, dato che la distribuzione è nota.

Per la variabile Y ricavo i parametri direttamente integrando la distribuzione congiunta (faccio molti meno conti così) ed ottengo:

$E [Y]=int_(0)^(1)dxint_(x)^(x+1)ydy=1$

$E [Y^2]=int_(0)^(1)dxint_(x)^(x+1)y^2dy=7/6$

e quindi $V [Y]=1/6$

$E[XY]=int_(0)^(1)xdxint_(x)^(x+1)ydy=7/12$

$COV(X,Y)=7/12-1/2=1/12$

$rho_(XY)=(6sqrt(2))/12=sqrt(2)/2$

che coincide col risultato desiderato, opportunamente razionalizzato.

ciao

[Redhead]

Hai chiarito anche ulteriori dubbi che non avevo esposto, oltre che quello in questione. Grazie mille!