Esercizio sul teorema della probabilità totale

[Matte]

In una regione una malattia colpisce il 4 per mille della popolazione. Un test è affidabile con probabilità 0.94 sui sani e 0.88 sui malati [cioè: per un malato il test è positivo con probabilità 88%; per un sano il test è negativo con probabilità 0.94]. Assumiamo che i test ripetuti siano indipendenti. Se due test su una persona sono risultati positivi, trova la probabilità che la persona sia malata.

Per risolvere questo problema io ho provato ad applicare il teorema della probabilità totale, quindi ho fatto: $P(M)=$ $0.88 * 0.004 + 0.94 * 0.996$, però non capisco il motivo per cui il risultato del libro non combacia con quello che ottengo io. Qualcuno sa se applico male la probabilità totale, oppure ho sbagliato completamente e dovrei fare un altro tipo di ragionamento?
(il risultato del libro è 0.46)

[feddy]

Sono un novizio della probabilità (l'ho appena cominciata a studiare), ma mi pare sia il caso di usare la formula di Bayes.

Chiama E={test positivo} e M={Una persona è malata}.

$mathbb{P}(M|E)=(mathbb{P}(E|M)* mathbb{P}(M))/(mathbb{P}(E|M)*mathbb{P}(M) +mathbb{P}(E|M^C)*mathbb{P}(M^C) )$. Poi devi tener conto che sono indipendenti.

Non ho provato a fare i conti. Spero di aver fatto giusto

[feddy]

Ho provato a svolgere il conto e mi risulta $mathbb{P}(M|E)=0,055$. Se sono indipendenti, cioè $mathbb{P}(A cap B)=mathbb{P}(A)*mathbb{P}(B)$, allora mi viene da dire che la probabilità risultante è $0.055^2$, che non è il risultato del libro.

Scusa se mi sono intromesso in modo errato. A questo punto aspettiamo che qualcuno che sappia darci una dritta risponda

[feddy]

Su gentile suggerimento di XXXX, ho trovato la soluzione.

Bisogna considerare l'evento $mathbb{P}(M|E^{++})$ e non l'evento $mathbb{P}(M|E^{+})$. Con $E^{++}$ intendo che due test indipendenti siano positivi.

Poichè sono indipendenti allora si ha $mathbb{P}(E^{++}|M)=0.88^2$.

Applicando Bayes: $(0.88^2\cdot0.004)/(0.88^2\cdot0.004+0.06^2\cdot0.996)~~0.46$

[superpippone]

$(0,004*0,88^2)/(0,004*0,88^2+0,996*0,06^2)=(0,0031)/(0,0031+0,0036)=(0,0031)/(0,0067)=0,463$

Quando ho cominciato a scrivere, non c'era ancora la soluzione corretta di feddy.
E non sono io XXXX

[orsoulx]

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Se uno indovina l'identità di XXXX, cosa vince?
[lo smile è un indizio cromatico]
aggiunto alle 19:37
Ho capito è la solita fregatura, solo per attirare gli allocchi, e non si vince nulla. Vabbè! Cambio compagnia.

[Matte]

Ringrazio moltissimo sia XXXX, sia feddy e sia superpippone, ho capito perfettamente che cosa sbagliavo. Grazie ancora!