esercizietto

[tommik]

Agli utenti interessati allo studio delle trasformazioni di variabile propongo il seguente esercizietto, semplice ma nel contempo molto utile.

Data la distribuzione congiunta $f(x,y)$ uniforme sull'area azzurra in figura, calcolare la distribuzione di $Z=XY$

[mide]

Allora, io ci provo. Utilizzerei il metodo della variabile ausiliaria:
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
Z=XY\\H=Y
\end{cases}
con -1\leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1
\end{equation} \)

Quindi fissata una coppia di valori $(z,h)$, risolvo il sistema:
\(\displaystyle

\begin{equation}
\begin{cases}
z=xy\\h=y
\end{cases}
\Rightarrow

\begin{cases}
x_1=\frac{z}{h}\\y_1=h
\end{cases}

\end{equation} \)

Dopo di che calcolo lo Jacobiano:
$J(x,y)=y$

e quindi applico il teorema fondamentale:
\(\displaystyle
\begin{equation}
f_{ZH}(z,h) = \frac{f_{XY}(x_1,y_1)}{|J(x_1,y_1)|}=\frac{f_{XY}(z/h,h)}{h}
\end{equation}
\)

Ora basta cacolare la PDF marginale per trovare $f(z)$:
\(\displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{ZH}(z,h)dh = \int_{0}^{1}\frac{1}{h}f_{XY}(z/h,h) \).

Siccome la distribuzione è uniforme, dalla normalizzazione: $f(x,y)=c=\frac{1}{2}$ e risolvo l'integrale. Anche se c'è qualcosa che non mi convince perchè $h$ non può essere 0...
Spero di non aver detto troppe cavolate

[orsoulx]

Per non saper ne leggere ne scrivere, se non ho sbagliato la funzione di ripartizione è

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ P(Z<=z)={(0 if z<=-1), (1/2(1+z(1-ln(-z))) if -1<z<0), (1/2 if z=0), (1/2(1+z(1-ln(z))) if 0<z<=1), (1 if z>1) :}$
da cui la densità di probabilità $ f(z)=(-ln|z|)/2 $ con $ z $ diverso da $ 0 $ e compreso fra $ -1$ e $1 $.

Ciao

[tommik]

Orsoulx ovviamente sa far bene i conti!

Anche il procedimento di Mide può andare bene...ma devi considerare che lo jacobiano viene in valore assoluto è quindi integrerai

$ int_(-1)^(z)-1/(2v)dv$ per $z <0$

e

$int_(z)^(1)1/(2v)dv $ per $z>0$

[mide]

Ah giusto c'era il modulo. L'avevo scritto nella definizione e non l'ho più considerato
Grazie, ora mi è più chiaro.
Sarei però curioso di sapere il procedimento di orsoulx. Hai semplicemente moltiplicato x e y nelle varie regioni del dominio per trovare le probabilità?

[tommik]

Ha usato il metodo migliore...quello della funzione di ripartizione .

Più tardi se nessuno risponde ti mostro tutti i passaggi...serve anche un disegno

[mide]

Va bene, grazie mille!

[tommik]

Dunque applicando la formula generale per trovare la funzione di ripartizione della variabile trasformata basta fare

$F(Z)=P(XY<z)=intint_(XY<z)f(x,y)dxdy$

Tale integrale rappresenta il volume di un solido con base il dominio di integrazione. Ora, dato che la distribuzione congiunta è uniforme, il volume del solido è pari all'area del dominio di integrazione moltiplicata per l'altezza (la nostra $f(x,y)=1/2$)

vediamo qual è il dominio di integrazione utilizzando la definizione; avremo

$y<z/x$ se $x>0$

$y>z/x$ se $x<0$

graficamente:



Quindi per $z<0$ abbiamo

$F(z)=(z+1)/2-1/2int_(-1)^(z)z/x dx=(z+1)/2-z/2log(-z)$

e anche per $z>0$ abbiamo esattamente la stessa cosa

$F(z)=(z+1)/2+1/2int_(z)^(1)z/x dx=(z+1)/2-z/2log(z)$


...derivando ottieni il risultato

[mide]

Tutto chiaro, ho capito perfettamente. Il disegno ha aiutato molto
Ti ringrazio infinitamente per il tuo tempo, imparo sempre dai tuoi post!!