Non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione che dice i tempi di attesa del primo successo(tempi di interarrivo) di un processo di poisson seguono in distribuzione la variabile esponenziale.( dei riferimenti sono "Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica" Capasso Morale pag 95).
Nella dimostrazione quindi si cerca di trovare la distribuzione del tempo del primo successo :
$ F_(T_1) = prob(T_1 <=t) =1-Prob(T_1 >t)=1-prob(N_t =0) $
In particolare il passaggio che non capisco è quello iniziale che pone come probabilisticamente equivalente i due eventi:
$ {T_1 > t} harr {N_t =0} $
Con $ {T_1 > t} $ il tempo di attesa del primo successo e $ {N_t =0} $ il numero di successi al tempo t.
Il mio dubbio è basato sul fatto che danno informazioni diverse. Il primo evento indica che il primo successo sarà dopo t secondi, quindi da l'informazione che in t secondi ho zero successi e ci sarà $s>t$ t.c. il primo successo sarà in $s$. Il secondo evento invece dà informazioni solo sul fatto che in t secondi si hanno zero successi, ma non dice niente sul fatto che ci sarà un qualche successo nel futuro. Riassumendo il primo implica che ci sarà un successo nel futuro il secondo evento non dice che ci saranno successi nel futuro.
Come mai mettono equivalenti tali eventi?
Poi il resto della dimostrazione è facimente comprensibile in quanto basta fare solo calcoli visto che $N_t $ è distribuita come una poisson