Infatti ho anche trovato la pdf di Y applicando il teorema della probabilità totale per le CDF. Prima di tutto, però, ho notato che poichè $X\sim U[-5,-1]$ la sua pdf è:
$$f_X(x)=\begin{cases}
\frac{1}{4} & x\in[-5,-1]\\
0 & altrove\end{cases}$$
Considerando $X\in[-5,-1]\cap [-2,2]=[-2,-1]$, dal grafico si vede che g(x) è non decrescente:
e si ha:
se $x=-2\ \Rightarrow\ y=1-\frac{4}{4}=0$
se $x=-1\ \Rightarrow\ y=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Quindi posso dire che il supporto di Y è [0,3/4]?
Applico il teorema sopra menzionato distinguendo 3 casi:
1)Calcolo i valori di y per i quali l'equazione $y=1-\frac{x^2}{4}$ non ha soluzioni per $x\in[-2,-1]$. Dal calcolo precedente si ha che tali valori li ottengo per $y<0\ \vee y>\frac{3}{4}$. Per questi valori di y quindi, $f_Y(y)=0$.
2)Considero i valori di y per cui g(x) è costante, ossia y=0 per x<-2 e x>2. In corrispondenza di tale valore ho una delta di Dirac e la pdf di Y ivi calcolata è:
$$f_Y(0)=P(Y=0)*\delta(y-0)+c(y)$$
dove $P(Y=0)=P(X<-2\ \vee\ X>2)=P(-5<X<-2)=\frac{-2+5}{-1+5}=\frac{3}{4}$ e
$c(y)=-2\sqrt(1-y)$, ovvero l'espressione di x che ottengo dall'equazione $y=1-\frac{x^2}{4},\ x\in[-2,-1]$.
3) Infine calcolo tutte le soluzioni di $y=1-\frac{x^2}{4}$ per $y\in]0,\frac{3}{4}]$ ottenendo:
$$x_1=-2\sqrt{(1-y)},\ \ x_2=2\sqrt{(1-y)}$$
Per il teorema, si ha che:
$$f_Y(y)=\frac{f_X(x_1)}{|g'(x_1)|}+\frac{f_X(x_2)}{|g'(x_2)|}=\frac{1}{2\sqrt{1-y}}$$
Dunque, in definitiva ho:
$$f_Y(y)=\begin{cases}
0 & y<0\ \vee y>\frac{3}{4}\\
\frac{3}{4}\delta(y)-2\sqrt{1-y} & y=0\\
\frac{1}{2\sqrt{1-y}} & 0<y<=\frac{3}{4}\end{cases}$$