Calcolo funzione di densità trasformazione di VA

[mbistato]

Ciao ragazzi,
ho il seguente esercizio da risolvere:
Siano X e Y due VA uniformemente distribuite negli intervalli, rispettivamente, [0,1] e [0,2]. Calcolare la funzione di densità di $Z=\alpha X+(1-\alpha) Y$ dove $\alpha$ è una VA binaria con $\P(\alpha=1)=\frac{1}{4}$

Innanzitutto, credo ci sia una dimenticanza nel testo perchè viene specificato solo uno dei due valori che $\alpha$ può assumere, ovvero, 1. L'altro valore sarebbe 0?

Inoltre, con quale approccio dovrei trovare tale funzione di densità? Non ne ho idea...

[tommik]

l'esercizio è corretto, non manca nulla. La variabile $alpha$ (te lo dice anche la traccia) è binaria, ovvero bernulliana. Vedila in questo modo: estrai una carta da un mazzo da poker: se esce picche peschi dalla variabile X, uniforme in $[0;1]$ se invece esce un altro seme allora peschi dalla variabile $Y$, sempre uniforme ma in $[0;2]$

Quindi la CDF della variabile risultante è una mistura delle due $F_X$ e $F_Y$. In pratica devi applicare il teorema delle probabilità totali alle CDF.

$F_(Z)(z)=1/4P(X<=z)+3/4 P(Y<=z)$

Suggerimento: se il dominio fosse lo stesso per le due variabili l'esercizio sarebbe banale; purtroppo invece non è così e quindi, per avere $0<z<1$ può accadere che $alpha=1$ ma anche $alpha=0$. Se invece $1<z<2$ allora necessariamente deve essere $alpha=0$

A conti fatti troverai che

$F_(Z)(z)-={{: ( 0 , if z<0 ),( 5/8z , if0<=z<1),( 2/8+3/8z , if1<=z<2 ),( 1 , if z>=2) :}$

e derivando puoi facilmente trovare la densità richiesta

$f_(Z)(z)-={{: ( 5/8 , if 0<=z<1 ),( 3/8 , if 1<=z<=2 ),( 0 , a l t r o v e ) :}$

e come puoi notare è una densità, dato che l'area totale è pari a uno

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

ciao