il seguente esercizio mi sta creando problemi nell'ultimo punto, dove richiede di dimostrare la legge congiunta di una serie di v.a. discrete.
Testo:
Si consideri una scatola contente $r$ palline rosse e $n$ palline nere. Supponiamo di estrarre dalla scatola $k$ palline, $k < r$ e $k < n$. Sia $X_i$ la v.a. che descrive l’evento "l’i-esima pallina è nera e sia $X$ la v.a. che descrive il numero di palline nere ottenute in $k$ estrazioni.
i) Trova la legge di $X$ e $X_i$
ii)Trova il valore atteso di $X$ e $X_i$
iii) Dimostra che le congiunta delle $X_i$ èClick sull'immagine per visualizzare l'originale
Risoluzione:
i) $X$ è una v.a. ipergeometrica, mentre $X_i$ è di Bernoulli di parametro $p=n/(r+n)$
ii) $\mathbb{E}[X_i]=p$, mentre per calcolare $\mathbb{E}[X]$ conviene porre $X_i(w)=1$ se l'estrazione i-esima da una pallina nera. A questo punto noto che $X=X_1+...+X_k$.
Per cui $\mathbb{E}[X]= \mathbb{E}[X_1+...+X_k]=kp=kn/(r+n)$
iii)
Pensavo di impostarlo così: la congiunta delle $X_i$ altro non è che la probabilità che tra le $k$ estratte ne trovi $m$ nere. Quindi $P(X_1+...+X_k=m)=$ \( \frac{\binom{n}{m} \binom{r}{k-m}}{ \binom{r+n}{k} } \) Solo che sviluppando i fattoriali viene un macello. Deve esserci un'altra strada.
Il punto è che le $X_i$ non sono indipendenti tra loro poiché ad ogni estrazione successiva la probabilità di pescare una nera cambia visto che suppongo non ci sia reimbussolamento.
Guardando la formula mi verrebbe da pensare anche alla legge dell probabilità composte ( per il denominatore), ma al numeratore faccio fatica a trovare la spiegazione (soprattutto a causa della sommatoria).
P.S.: Mi scuso per l'immagine, è che scrivere la formula in LaTex rende la scrittura poco leggbile.
Grazie per l'attenzione.
