Esercizio con approssimazione a normale

[Myride1988]

La probabilità di contrarre la varicella entro i 10 anni è P=0,73.
Calcolare la probabilità che in un campione di 200 bambini ce ne siano almeno 150 che hanno la stessa malattia.

Io so che la binomiale ha forma Media: $ np $ e Varianza: $ np(1-p)/n $
Ma a volte si usa l'approssimazione alla normale con Media: $ p $ e Varianza: $ p(1-p)/n $

Mi potete spiegare come si svolge questo esercizio e in generale quando utilizzare una forma,e quando l'altra.Il nostro professore ci diceva che con un campione si usa la seconda forma da me precedentemente elencata.

[tommik]

Quando il campione è sufficientemente grande si può usare il teorema del limite centrale che semplifica di molto i calcoli.
Anche qui, con il tasto cerca, troverai numerosi esempi svolti e commentati (molti da me).

Nel caso della binomiale $n $ è sufficientemente grande quando $np>=5$

Per quanto riguarda l"esercizio sei tu che devi proporre una bozza di soluzione, come da regolamento (e come già ti ho detto nell'altro topic)

Inoltre ricorda che:

1) se vuoi avere aiuti è fortemente consigliato scrivere le formule con l'apposito compilatore oppure in formato LaTex

2) topic senza bozza di soluzione o domande specifiche vengono chiusi

[Myride1988]

Si scusa hai ragione,

io inizialmente ho posto P=150/200=0,75 e Varianza =0,75(1-075)/200

$ P(z> (0,75-0,73)/(0,0306) )= 0,65 $ e quindi una probabilità del 74,21% 25,79%

In un secondo momento mi è sorto il dubbio sulla correttezza di questo procedimento.

(mi scuso per la domanda,mi sembra una domanda molto scema,ma purtroppo il nostro professore non è stato molto chiaro a riguardo.)

[Myride1988]

Ma potevo risolvere anche con il teorema del limite centrale?I risultati mi vengono simili.

[tommik]

Quello che hai utilizzato È il TCL ma ci sono diversi errori:

1) la formula corretta

$P (z>=(150-200\cdot0.73)/sqrt (0.73\cdot0.27\cdot200))=P (z>=0,637)~~0.26$

Oppure

$P (z>=(0,75-0,73)/sqrt (0,73\cdot0.27) sqrt (200)) $

porta ad avere $P (z>=0,637)~~0.26$

Tu hai confuso la media del campione con la media della popolazione; inoltre hai sbagliato a consultare le tavole

2) l'approssimazione in questione può essere migliorata utilizzando un opportuno fattore di correzione (ma non so se lo avete fatto). In caso affermativo puoi consultare i numerosi esempi già presenti sul forum. Se proprio non riesci domani ti posto un esempio di come trovare un'approssimazione migliore...

[Myride1988]

Il secondo metodo da me provato è stato di porre

Media: $ np = 146 $ e Varianza : $ np(1-p)=39,42 $

$ p(z>(150-146)/root(2)((39.42))) =0,637 $

Ottenendo così un risultato simile a prima.Se è possibile vorrei un chiarimento sui due diversi approcci.
(Ho apportato le modifiche,spero di essere chiaro ora)

[tommik]

Questo è corretto ma hai fatto un altro errore

Non viene $0,637$ Ma $P (z>=0,637) $

Voglio farti notare che il metodo precedente ha un errore concettuale piuttosto grave ma, casualmente, porta ad avere un risultato molto simile a quello corretto.

Nel post precedente ti ho messo i calcoli del TCL in entrambe le versioni che, come puoi notare, sono equivalenti (infatti basta dividere numeratore e denominatore per 200). Prima di affrontare il problema del fattore di correzione potresti calcolare (ad es con Excel) il valore "vero" di tale probabilità con la binomiale...cosi risparmio tempo

[Myride1988]

Si nella foga ho saltato la scrittura $ P(z>0,637)=0,26 $

L'errore concettuale sarebbe quello di confondere media campionaria con media della popolazione?

[tommik]

Yes. Ora prova a considerare il testo che dice "almeno 150" quindi ovviamente è $P (x>=150) $

Come puoi immaginare, dato che la binomiale è discreta questa probabilità può essere sensibilmente diversa da $P (x>150) $

Il valore più corretto dell'approssimazione Si trova facendo $P (x>149.5) $

[Myride1988]

Correggimi se sbaglio ma la campionaria non dovrebbe essere $ p $ con varianza $ (p(1-p))/n $ ?
Mi sembrava il caso di usarla dato che si prende un campione


(grazie per la pazienza che hai )