quantile di una distribuzione normale

[maluz]

Salve a tutti,
Ho un esercizio il cui testo è: "Sia $ X∼N(4.71,9.25) $
-Calcolare il quantile di ordine 0.63
-Calcolare il valore c tale che $ Pr(|X−μ| > c)=0.85 $
-Calcolare il valore d tale che $ Pr((X−μ)^2 > d)=0.68 $ ".

Già il primo punto mi ha messo in difficoltà. Per calcolare il quantile avrei bisogno della funzione di ripartizione, che non saprei come ricavare. (mi è stato detto che esiste un programma chiamato R che esegue calcoli del genere, non esistono altre vie per risolvere questo punto).

Per il secondo e il terzo punto ho proceduto in questo modo: (siccome immagino la risoluzione del terzo sia simile, propongo solo quella del secondo)
Ho standardizzato la X, quindi
$ Pr(|Z| > (c/σ))=0.85 $
Poi ho ipotizzato di prendere la parte positiva di Z,
$ Pr(Z > (c/σ))=0.425 $
Utilizzo le tavole per determinare il valore di $c/σ$
$ 1 - Pr(c/σ) = 0.425 $
$Pr(c/σ) = 0.575 $
$c/σ = 0.19$

Il procedimento fino a qua è corretto? La c è ricavabile solamente da quest'ultima equazione o devo ritornare alla variabile X per calcolarla?
Grazie

[tommik]

Il quantile richiesto nel primo punto si legge sulle tavole, senza scomodare R.

Il secondo è giusto: $c=0,19 sqrt (9,25) $.

Per il terzo invece il metodo più veloce è questo: osservo che, posto $Z $ una va normale std:

$F_(Z^2)(y)=P (Z^2 <y)=P {-sqrt (y)<Z <sqrt (y )}=Phi (sqrt (y))-Phi (-sqrt (y))$

$f_(Z^2) (y)=phi (sqrt (y)) 1/(2sqrt (y))-phi (-sqrt(y))(-1)/(2sqrt (y))=(phi (sqrt (y)))/sqrt (y)=$

$=1/sqrt(2pi) y^(-1/2) e^(-y/2)=(1/2)^(1/2)/(Gamma (1/2)) y^(1/2-1) e^(-y/2)~chi_((1))^2$

In pratica calcolo il quantile richiesto sulle tavole della chi-quadro con 1 gdl che corrisponde a $(X-mu)^2/sigma^2$ da cui subito ho la soluzione semplicemente moltiplicando per $sigma^2$. In sostanza l'esercizio si risolve facendo $0.17\cdot9.25=1.57$ dove $0.17$ lo leggi sulle tavole.

Ovviamente puoi anche ragionare come nel punto 2, con le opportune modifiche..ma immagino che il prof voglia farti usare le proprietà che ti ho illustrato

Ciao

[maluz]

Ti ringrazio per la spiegazione. L'unico dubbio che mi rimane riguarda il primo punto: per poter utilizzare le tavole avrei bisogno di standardizzare la variabile aleatoria. In questo caso otterrei un quantile per la va standardizzata, che non credo corrisponda a quello della mia va iniziale. In questo caso lo "de-standardizzo", quindi applico al quantile la formula inversa della $ Z=(X-μ)/sigma $ ?

[Bonny96]

la soluzione semplicemente moltiplicando per σ2. In sostanza l'esercizio si risolve facendo 0.17⋅9.25=1.57 dove 0.17 lo leggi sulle tavole.

Non ho ben capito dove si è trovato 0.17

[tommik]

Come ho detto più di un anno fa... è il quantile di una $chi_((1))^2$

Se non ti piace come soluzione, con qualche passaggio in più puoi anche passare per le tavole di una gaussiana

$P{(X-4,71)^2/(9,25)>d/(9,25)}=0,68$

$P{|Z|>sqrt(d/(9.25))}=0.68$

$sqrt(d/(9,25))=0.4125$

$d=1,57$

Esattamente come spiegai illo tempore

È più chiaro così?

[Bonny96]

Si grazie ora ho capito