Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 18/05/2017, 22:11

Con riferimento alla seguente distribuzione di frequenze di 1000 famiglie secondo il reddito ed il
consumo medio mensile misurati in migliaia di euro:

Reddito56837
Consumo42513
N° di famiglie10520520


(a) Calcolare i parametri della retta di regressione del consumo (Y ) rispetto al reddito (X).
(b) Secondo il modello stimato, quale sarebbe il consumo di una famiglia che guadagna 2500 euro?
c) Calcolare la variabilità spiegata della retta.

A)
$ Y= b_0 + b_1(x) => b_1= sigma_(XY)/(sigma^2)_x $

La varianza di X mi viene

$ (sigma^2)_x=2.85 $

Per trovare la covarianza servono la media di x e la media di y, e cos' altro? Il prodotto XY moltiplicato per le frequenze?

$ mu_x=6.58; mu_Y=3.58 $

XY
20
12
40
3
21
TOT=96


B)Per risolvere questo punto dovrei prima risolvere il punto A e trovare l' intercetta e il coeff. angolare della retta di regressione.
C) La formula della variabilità spiegata è $ V.S.= R^2*(sigma^2)_y $
Ovvero coefficiente di relazione al quadrato moltiplicato per la variabilità totale. Ma qui come calcolo la variabilità totale?
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda tommik » 18/05/2017, 23:08

Prova a fare lo stesso esercizio senza le frequenze, ovvero solo con consumo e reddito. Se non riesci allora devi studiare meglio la teoria, se invece riesci allora non ti resta che modificare le formule inserendo anche le frequenze, cioè i " pesi" delle variabili.

Covarianza?

$E (XY)-E (X)E (Y) $

$sum _x sum_ y xy p (x,y)- sum_x xp (x) sum_y yp (y) $

Varianza?

$E (X^2)-E^2 (X)= (sum_i X_i ^2)/n-bar(x)^2 =sum_i X_i ^2p(X_i)-[sum_i X_i p(X_i)]^2$

ecc ecc
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 01:13

Un esercizio senza le frequenze l' ho fatto prima di questo e risultava.

Ma vediamo questo senza le frequenze. Il punto A)

$ mu_Y=3; mu_X=5.8 $
$ (sigma^2)_x=[(5-5.8)^2+(6-5.8)^2+(8-5.8)^2+(3-5.8)^2+(7-5.8)^2]/5=2.96 $
XYXY
5420
6212
8540
313
7321
TOT=96

$ COV=96/5 - 3*5.8=1.8 $
$ Y=b_0 +b_1*x => per (6;2) b_0=Y - b_1*x=2-0.60*6=-1.6 $

Dove sbaglio?
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda tommik » 19/05/2017, 08:13

$b_1=(Cov)/(V(x))=(1.8)/(2.96)=0.608$

$b_0=E(y)-b_1 E(x)=3-0.608\cdot5.8=-0.527$

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Immagine

In questo caso hai utilizzato tutte le frequenze $=1/5$. fai la stessa cosa cambiando le frequenze. L'esercizio non presenta alcuna difficoltà concettuale, basta applicare le formule

Magari con i dati impostati in modo più schematico capisci anche gli errori che fai

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

Immagine

un file così con un foglio elettronico lo fai in 5 minuti....ho fatto i conti in fretta e furia, spero di non aver fatto qualche errore
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 11:30

Penso di aver capito come risolverlo.
Però i risultati mi vengono diversi di poco nell' ultimo decimale. Posso chiederti come hai scelto il numero di cifre significative da prendere quando fai i calcoli?
Le frequenze relative che hai calcolato sono necessarie o bastava eseguire il procedimento con le frequenze assolute già date?
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 11:49

Ok mentre per il punto B) basta sostituire il valore di X all' interno della retta di regressione?
Dato che i valori nella tabella sono espressi come X/1000 nella retta sostituisco X=2.5?
$ Y=-0.310+0.591*2.5= 1.19 $
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 14:52

Reddito42513
Consumo56837
N° Famiglie100500200100100


Questo esercizio è pressocchè identico al precedente. Anche qui chiede i parametri della retta di regressione, la variabilità spiegata, e il consumo con un dato valore di reddito. In più aggiunge questa domanda:
- Come varierebbe il coefficiente di determinazione se ciascuna modalità del consumo venisse moltiplicata per -0.75? (Motivare la risposta in modo opportuno)
Ciò che mi interessa quindi è capire quest' ultimo punto.

Dato che:
$ R^2=[(COV)/(V(X))]^2 $
Variando i consumi il coeff. dipende soltanto dal numeratore, cioè la covarianza. Variando le Y variano anche il prodotto XYP e la media di Y.
La nuova media è uguale a quella iniziale moltiplicata per -0.75, il prodotto XYP si moltiplica per -0.75, quindi sostituisco i dati per ottenere la nuova covarianza e mi trovo il nuovo coeff. di determinazione.
Fermo restando di aver ragionato bene, c' è un modo più veloce e intuitivo per trovare il nuovo R^2?
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 15:07

Si, mi sono confuso con la formula per il calcolo del coeff. angolare della retta di regressione. Ok, risolto.
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda Stefano41094 » 19/05/2017, 16:07

Il ricercatore di mercato Giorgio vuole verificare l'effcacia di una campagna pubblicitaria di una
marca di birra. Giorgio dispone di n = 1000 osservazioni mensili dei guadagni e delle vendite della
bevanda in questione ed elabora le seguenti statistiche:

$ sum^(1000)(y_i=2320) ; sum^(1000)(x_i=4720) ; sum^(1000)(x_i*y_i=13130); sum^(1000)(y^2=8180) ;sum^(1000)(x^2=28500) $

Tutte le sommatorie partono da i=1.

a)Ricavare una stima dei parametri del modello di regressione con variabile dipendente y e variabile indipendente x.
b)Calcolare la varianza residua. Commentare il risultato in termini di bontà di adattamento del modello ai dati.
c) Come varierebbe il coeffciente di determinazione se i guadagni fossero moltiplicati per -1 (se avessimo cioè delle perdite)?

A)Qui procedo con il calcolarmi la covarianza e le medie.
$ mu_x=4720/1000=4.720; mu_y=2.320 => COV=13130/1000 - 4.720*2.320=2.180 $
$ Y=a+bx = > b=(cov)/[V(X)] $
E per la varianza di x come procedo?
$ V(x)= [sum(x-mu_x)^2]/1000=(sum[(x_i)^2 + (mu_x)^2 - 2(xmu_x)])/1000 $
Ha senso l' ultima che ho scritto?
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Re: Parametri retta di regressione, variabilità spiegata

Messaggioda tommik » 19/05/2017, 18:33

la varianza? basta usare la definizione; ciò che hai scritto va benissimo, se prosegui nei conti ti ritrovi così:


$V(X)=(sum_(i) X_i ^2)/n-bar(X)^2$

...e quindi hai risolto.

non è obbligatorio ma sarebbe meglio aprire un nuovo topic per ogni esercizio....così la stanza rimane più in ordine



ciao
tommik
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