Vettore gaussiano

[Patras]

Ciao a tutti qualcuno mi può aiutare per favore con questo problema? Vettore gaussiano $W=(X,Y)^T$ e che ha densità
congiunta $f_{XY}(x,y)=c \exp{-x^2+xy-\frac{1}{2}y^2}$.

a) Determinare il vettore della media e matrice di covarianza e c
A occhio vedo che la media è nulla per entrambe le componenti mentre la matrice di covarianza è l'inversa di quella che mi da l'esponente per cui raccogliendo anche $\frac{1}{2}$ mi viene $S$: \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} E noto dalla matrice che le componenti $X,Y$ non sono indipendenti (perché non scorrelate).
$c = \frac{1}{\sqrt{2\pi |\det(S)|}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

Spero fin qua di non aver sbagliato ma il mio problema sorge alla seconda domanda:
b) La densità condizionata $f_{X|Y}(x|y)$ è notevole: se ne individui la famiglia e i parametri.
Non so cosa ci sia di notevole, provando con $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}$ e sapendo che
la funzione caratteristica $\phi_Y = \phi_{XY}(0,\omega)=e^{-\frac{1}{2}\cdot 2\omega^2}$ mi risulta che $Y=N(0,2)$ cioè $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y(y)}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{-x^2+xy-\frac{1}{2}y^2} 2\sqrt{\pi}
\exp{\frac{1}{4}y^2}=$
$=\sqrt{2}\exp{-x^2+xy-\frac{1}{4}y^2}$ che si avvicina a $N(y/2,1/2)$ ma comunque non va bene la parte prima dell'esponenziale. Qualcuno mi può aiutare?

[tommik]

Non so cosa ci sia di notevole

Esercizio interessante, e siccome non se ne vedono molti ultimamente qui, mi dilungherò un po' nella spiegazione....

Il problema è noto per il modo in cui è definito il modello gaussiano bivariato: qui incorrelazione coincide con indipendenza, e la dipendenza è catturata interamente dal parametro di correlazione $rho$; per cui noto $rho$ basta rimaneggiare algebricamente la densità congiunta per fattorizzarla in $f(x)f(y|x)$. La denistà condizionata risulterà ancora una gaussiana (per un x fissato, essendo condizionata) di media $mu_Y+rhosigma_Y/sigma_X(x-mu_X)$ e varianza $sigma_Y^2 (1-rho^2)$

Per quanto riguarda la tua impostazione di risoluzione sei fuori strada. Ti ricordo che la $y|X$ è una variabile condizionata e quindi risulterà una densità in funzione della variabile che subordina, ovvero la X.

Ma vediamo come dimostrarlo.

Il modello gaussiano bivariato è così definito:

$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sigma_X sigma_Y sqrt(1-rho^2))Exp{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_X)^2/sigma_X ^2+(y-mu_Y)^2/sigma_Y ^2-2rho((x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_X sigma_Y)]}$

ovvero

$f_(XY)(x,y)=1/(2pi sigma_X sigma_Y sqrt(1-rho^2))Exp{-1/(2(1-rho^2))(x-mu_X)^2/sigma_X ^2}Exp{-1/(2(1-rho^2))[(y-mu_Y)^2/sigma_Y^2 -2rho((x-mu_X)(y-mu_Y))/(sigma_X sigma_Y)]}$

ora aggiungiamo e sottraiamo $(rho^2(x-mu_X)^2)/sigma_X^2$ nell'argomento del secondo esponenziale in modo da far comparire un quadrato perfetto ed ottenendo così (dopo alcuni semplici calcoli algebrici)

$f_(XY)(x,y)=[1/(sigma_X sqrt(2pi))Exp[-1/(2sigma_X^2)(x-mu_X)^2]]\cdot[1/(sigma_Y sqrt(1-rho^2) sqrt(2pi)) Exp{-1/(2sigma_Y^2(1-rho^2))[y-mu_Y-rho sigma_Y/sigma_X (x-mu_X)]^2}]$

come vedi questa fattorizzazione dimostra la tesi.


Ps: mi sono accorto ora che il testo del tuo problema chiede di calcolare $f(x|y)$...ovviamente basta fare lo stesso ragionamento con le variabili invertite.....

Ora ritornando al tuo problema, dopo questa spiegazione tutto diventa molto semplice. Infatti (lasciamo perdere la costante che tanto nulla aggiunge e nulla toglie al problema)

partendo dalla densità iniziale

$f(x,y)~~Exp(-x^2+xy-y^2/2)$ basta riscriverla così:


$f(x,y)~~Exp{-1/(2(1-1/2))[x^2/1+y^2/2-2\cdot sqrt(2)/2 (xy)/(1\cdot sqrt(2))]}$

In questo modo abbiamo riscritto la densità del problema come modello Gaussiano bivariato dove:

$mu_X=0$

$mu_Y=0$

$sigma_X^2=1$

$sigma_Y^2=2$

$rho^2=1/2$

$rho=sqrt(2)/2$

e quindi abbiamo risolto dato che immediatamente riusciamo a caratterizzare sia la marginale Y (oppure X) e la corrispondente densità condizionata $f(x|y)$ (oppure $f(y|x)$).
Nel nostro caso otteniamo che

$f(x|y)~N[mu_x+rho sigma_X/sigma_Y (y-mu_Y);sigma_X^2(1-rho^2)]$

ovvero una normale di media

$0+sqrt(2)/2 1/sqrt(2) (y-0)=y/2$

e varianza

$1\cdot(1-1/2)=1/2$




Gradirei sapere se ti è chiaro ....
saluti

[Patras]

Non sapevo che la bivariata godesse di queste proprietà, comunque mi sono accorto ora di aver sbagliato a scrivere $2 \pi$ sotto radice per la congiunta quando in realtà siamo in due dimensioni quindi la radice non c'è per cui la mia soluzione corrisponde a quella tua, ma il mio procedimento non è quello richiesto. Si sei stato molto chiaro grazie mille!