Grazie
Siano date tre urne U1, U2, U3. U1 contenga 5 palline nere e 3 rosse, U2 contenga 4 palline
nere e 4 rosse, U3 contenga 6 palline nere e 2 rosse. Si estragga una pallina da U1 e si immetta una pallina
dello stesso colore di quella estratta sia in U2 che in U3. Con probabilità 1/2 si estragga una pallina da U2
e con probabilità 1/2 si estragga una pallina da U3.
(i) Determinare la probabilità di estrarre una pallina rossa alla seconda estrazione.
(ii) Determinare la probabilità che si sia estratta una pallina rossa alla prima estrazione nell’ipotesi che si
estragga una pallina nera alla seconda estrazione.
Vi spiego quello che ho fatto io: (è la prima volta che pubblico qualcosa e non ho ancora capito bene come scrivere le formule..nelle formule della probabilità con la "," indicherò l'intersezione)
(i) P(R alla 2° estrazione) = P(R alla 2°, estraggo da U2) + P(R alla 2°, estraggo da U3)
col teorema di Bayes condiziono le probabilità rispettivamente ad U2 e ad U3, cioè
$ P(R alla 2°, estraggo da U2) = P(estraggo da U2) * {P(R alla 2°| R alla 1°, scegliendo da U2) * P(R alla 1°) + P(R alla 2°| N alla 1°, scegliendo da U2) * P(N alla 1°)} $
analogamente l'altra. Il risultato finale mi trovo 9/26.
(ii) sempre usando il teorema di Bayes, scrivo:
$ P(R alla 1°| N alla 2°) = {P(N alla 2°| R alla 1°) * P(R alla 1°)} / P(N alla 2°) $
a questo punto ho dei dubbi sul calcolo di $ P(N alla 2°| R alla 1°) $ e su quello di $ P(N alla 2°) $
per la probabilità condizionata ho provato a intersecare l'evento condizionante con le due urne, cioè
$ P(N alla 2°| R alla 1°) = P(N alla 2°| R alla 1° , estraggo da U2) + P(N alla 2°|R alla 1°, estraggo da U3) $
e poi?
Ma ho il dubbio che l'intersezione debba essere fata prima del condizionamento, cioè
$ P(N alla 2°| R alla 1°) = P(N alla 2°, estraggo da U2| R alla 1°) + P(N alla 2°, estraggo da U3| R alla 1°) $
e da cui pensavo di "sdoppiare" l'intersezione condizionata scrivendo $ P(N alla 2°, estraggo da U2| R alla 1°) = P(N alla 2°| R alla 1°) * P(estraggo da U2| R alla 1°) $
e $ P(estraggo da U2| R alla 1°) = 1/2 $ perché eventi indipendenti.
ma non riesco a capire quale sia il modo giusto..anche perché secondo il mio ragionamento, i risultati verrebbero uguali (5/24)
Infine
$ P(N alla 2°) = P(N alla 2°, estraggo da U2) + P(N alla 2°, estraggo da U3) $
applicando ancora il teorema di Bayes, dovrei ottenere quest'ultima probabilità uguale a 15/4..ma mi sembra un po' impossibile dato che dev'essere p in [0,1]
Spero si capisca tutto sebbene il testo molto lungo.
Grazie
