Proprietà stimatori

[Stefano41094]

2) Si consideri la variabile casuale X che nella popolazione ha distribuzione:

x	p(x)
1	0.4
2	0.2
3	0.4

(a) Si verifichi che la media campionaria sia uno stimatore non distorto della media della popo-
lazione.
(d) Si verifichi che la varianza campionaria corretta sia uno stimatore non distorto della varianza
della popolazione

La media campionaria è uguale alla media della popolazione, cioè 2, la varianza campionaria corretta è uguale a $ S^2=1/(n-1)*sum(x_i-barX)^2 $ e risulta uguale a 2 se non ho sbagliato.
Lo stimatore è $ T=0.4X_1+0.2X_2+0.4X_3 $

Ma come faccio a verificare che siano stimatori corretti?

[tommik]

(a) Si verifichi che la media campionaria sia uno stimatore non distorto della media della popo-
lazione.
(d) Si verifichi che la varianza campionaria corretta sia uno stimatore non distorto della varianza
della popolazione

dovresti saperlo dimostrare anche in generale, e non solo per la distribuzione data. Infatti,

a)

$E(bar(X))=E(1/n sum_i X_i)=1/n \cdot n E(X_i)=n\cdot nmu=mu$ -> la media campionaria è non distorta per la media della popolazione


b)

$S^2=1/(n-1)sum_i (X_i - bar(X))^2=1/(n-1)[sum_i (X_i - mu)^2-n(bar(X)-mu)^2]$

e quindi

$E[S^2]=1/(n-1)[sum_i E(X_i-mu)^2-nE(bar(X)-mu)^2]=1/(n-1)[n sigma^2-n\cdot sigma^2/n]=sigma^2$

ovvero la varianza campionaria è uno stimatore non distorto della varianza della popolazione

L'esercizio è molto più semplice in quanto chiede una semplice verifica di ciò che ti ho dimostrato io.....la verifica te la lascio come esercizio

[Stefano41094]

Perfetto, grazie.