Probabilità Gaussiana e proprietà stimatori

[Stefano41094]

3)Data una variabile normale normale con parametri N(10; 9)
(c) Calcolare P(X > 19)
(d) Determinare il primo quartile della distribuzione

C) $ P(X>19)=1-P(X<19)=1-P(Z=(19-10)/(sqrt(9)))=1-F(3) => P(X>19)=1-0.9987=0.0013 $
D)Come si calcola il primo quartile?

4)Si consideri un campione casuale di numerosità n = 5.
(a) Si stabilisca se lo stimatore della media
$ T1 = 0.2X1 + 0.3X2 + 0.1X3 + 0.1X4 + 0.3X5 $
è distorto e se ne calcoli l'errore quadratico medio
(b) Confrontare in termini di efficienza lo stimatore T1 con lo stimatore media campionaria. Com-
mentare il risultato

A) $ E(T_1)=0.2mu+0.3mu+0.1mu+0.1mu+0.3mu=mu $
Quindi lo stimatore della media è corretto (?) => Distorsione=0
$ EQM=V(T_1) + D(T_1)^2=0.24 $
La varianza è la sommatoria dei (coefficienti)^2 => $ V(T_1)=0.24 $

B)Questo non mi è chiaro.
La media è $ E(X)=sumxp(x)=0.2x_1+0.3x_2+0.1x_3+0.1x_4+0.3x_5 $
E(X) e T1 sono uguali. In pratica ripetendo gli stessi calcoli del punto precedente otterrei di nuovo lo stesso EQM. E' possibilie o sto ragionando male?

[tommik]

D)Come si calcola il primo quartile?

$P(Z<z)=0.25 rarr z~~ -0.674$

$X=-0.674*3+10~~ 7.977$

$ EQM=V(T_1) + D(T_1)^2=0.24 $

$EQM_(T_1)=V[T_1]=0.24*sigma^2=0.24*9=2.16$

$EQM_bar(X)=V[bar(X)]=sigma^2/n=9/5=1.8$

la media campionaria è più efficiente.

(in realtà la media campionaria è il PIU' efficiente di tutti gli altri stimatori non distorti, avendo la varianza che raggiunge il limte inferiore di Cramér Rao)

Infatti:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$V(T)>=1/(-nE{partial^2/(partial mu^2)logf(x,mu)})$

$f(x,mu)=1/(sigmasqrt(2pi)) e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)$

$log f(x,mu)~~-1/(2sigma^2)(x-mu)^2$

$partial/(partial mu)log f(x,mu)=(x-mu)/sigma^2$

$partial^2/(partial mu^2)logf(x,mu)=-1/sigma^2$

$-nE{partial^2/(partial mu^2)logf(x,mu)}=n/sigma^2$

e quindi $V[T]>=sigma^2/n$

abbiamo dimostrato che la media campionaria è il più efficiente fra TUTTI gli stimatori non distorti (per la Gaussiana)

[Stefano41094]

Ok per il quartile.

Mentre nel secondo esercizio, quando devo calcolare errore quadratico medio, da dove hai preso sigma^2=9?

[tommik]

è la varianza della popolazione

$X~ N(10;9)$

perché ho immaginato si riferisse all'esempio 3)

In ogni caso, puoi lasciare $sigma^2$ e confrontare gli EQM dei due stimatori


$EQM(T_1)=0.24*sigma^2$

$EQM_(bar(X)_5)=0.2*sigma^2$

arrivando alle stesse conclusioni.

[Stefano41094]

Perfetto, grazie.