Si considerano tre urne. L'urna i-esima contiene 6 palline rosse e i + 2 palline bianche, con
i = 1; 2; 3. Un'urna viene scelta a caso e da essa vengono estratte 2 palline.
(i) Ipotizzando che la legge di probabilità che regola la scelta casuale dell'urna sia l'uniforme (discreta),
calcolare la probabilità che le palline estratte siano 2 bianche.
(ii) Sotto le stesse ipotesi del punto precedente, supponendo che l'estrazione abbia dato come risultato 2
bianche, calcolare la probabilità che l'urna prescelta sia la i-esima. Qual e l'urna piu probabile data
una tale estrazione?
(iii) Ipotizzando ora che la legge di probabilità che regola la scelta casuale dell'urna sia incognita, trovare
quella che, nella classe delle possibili leggi, massimizzi la probabilità che le palline estratte siano 2
bianche.
Per il punto (i) ho provato ad usare la distribuzione ipergeomentrica:
Detto A l'evento "vengono estratte 2 bianche", ho scritto
$ P(A) = \frac[( (i+2), (2) )\cdot( (6), (0) ) ] [( (i+2+6), (2) ) ] = ... =\frac[(i+2)\cdot(i+1)] [(i+8)\cdot(i+7)] $
Siccome non so se stavolta ho scritto meglio, specifico che i seguenti sono tutti coefficienti binomiali
( (i+2), (2) )
( (6), (0) )
( (i+2+6), (2) )
per il punto (ii) avevo pensato di usare il teorema di Bayes
$ P(i|A) = \frac [P(A|i)\cdotP(i)] [P(A)] $
siccome la i varia e per definizione del teorema, dovrei fare una sommatoria e dovrei farla al denominatore. Ma cosa succede al numeratore? Non capisco..
per il punto (iii) non so proprio da dove cominciare
Grazie
