funzione di distribuzione di una somma di due VA

[flipper]

Nel calcolare la funzione di distribuzione di S e cioè:
Fs(s) = P(S<=s) = P(X+Y>=s) = P(X<=s-y|Y=y) = integrale tra 0 e s di Fx(s-y)fY(y)dy,
data la funzione di distribuzione FX(x) e la funzione di densità fY(y)
mi trovo di fronte ad un problema nel calcolo degli integrali.


In particolare, in questo esercizio:
Fx(x)= 0 per x<0
x per 0>= x< 1
1 altrove
fY(y) = 1 per 0<y<1
0 altrove
perchè, ad esempio, nell'intervallo 1<=s<2 si ha:
integrale tra 0 e s-1 di 1*1 dy + integrale tra s-1 e 1 di (s-y) * 1 dy??
non si dovrebbe avere
integrale tra 0 e 1 di (s-y) dy + integrale tra 1 e s di 1*1 dy??
che valori esprimono gli estremi dell'integrale? di s o di x?
che intervalli si considerano?
spero riusciate ad aiutarmi...grazie in anticipo a tutti coloro che ci proveranno..

[Tipper]

Secondo me è più semplice passare per le densità di probabilità. Date due variabili aleatorie $X$ e $Y$, la densità di probabilità della variabile aleatoria $S=X+Y$ è data dalla convoluzione delle densità di probabilità

$f_S(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(u) f_Y(s-u)du$

Le densità di probabilità di $X$ e $Y$ sono due rettangoli, di ampiezza e altezza unitaria, centrati in $\frac{1}{2}$, la convoluzione, cioè la densità di probabilità di di $S$, è un triangolo alto $1$, di base $2$, centrato in zero

$f_S(s) = \{(1-|s|, "se "|s|<1),(0, "else"):}$

Per calcolare la funzione di distribuzione di probabilità basta calcolare $F_S(s) = \int_{-\infty}^{s} f_S(\xi) d\xi$ e risulta, se non ho sbagliato i conti

$F_S(s) = \{(0, "se "s < -1),(\frac{s^2}{2} + s + \frac{1}{2}, "se "-1 \le s <0),(\frac{1}{2} + s - \frac{s^2}{2}, "se "0 \le s < 1),(1, "se "s \ge 1):}$