Funzione di ripartizione per variabile casuale doppia

[SimonSays92]

Salve, capisco di essere un po' pedante ma ho un nuovo problema e ancora nessun esempio di come procedere, dopodiché lascio perdere tutto perché mi sono stufato.

Allora: ho una funzione di densità doppia. Vale $1/2$ per $0<x1<1$ e sempre $1/2$ per $0<x2<2$, vale $0$ altrove. Mi viene richiesto di ricavare la funzione di ripartizione e mi vengono forniti anche i risutati:
1)$0$ per $x1<0$ e $x2<0$;
2)$(x1x2)/2$ per $0<=x1<1$ e $0<=x2<2$;
3)$x1$ per $0<=x1<1$ e $x2>=2$;
4)$(x2)/2$ per $x1>=1$ e $0<=x2<1$;
5)$1$ per $x1>=1$ e $x2>=2$.

Ora, se il primo e l'ultimo risultato sono ovvi, e riesco a calcolare il secondo con l'integrale doppio, purtroppo non riesco a capire in che modo ottenere il terzo ed il quarto risultato.

[tommik]

A parte alcuni errori evidenti nella copiatura della soluzione (probabilmente dagli appunti) che non sto ad elencare,

una volta calcolata la

$F_(X_1 X_2)(x_1,x_2)=(x_1 x_2)/2$

i punti 3) e 4) non sono altro che le FdR marginali e si trovano subito in base alla definizione

$F_(X_1)=F(x_1 ;+oo)=F(x_1;2)=x_1$ (ovviamente è una uniforme sul supporto di $x_1$)

$F_(X_2)=F(+oo ;x_2)=F(1;x_2)=x_2/2$ (ovviamente è una uniforme sul supporto di $x_2$)

[SimonSays92]

Grazie. Ma invece per trovare la probabilità $P(X<0,3;Y<0,5)$?

[SimonSays92]

Devo fare (usando la funzione di densità):

$int_{0}^{0,5}$ $int_{0}^{0,3} 1/2 dxdy$?

[tommik]

Sì, ma mi sembra fatica sprecata avendo già la FdR. Basta sostituire i valori nella F e stop

$P(X<0.3; Y<0.5)=F(0.3;0.5)=(0.3*0.5)/2=3/40$



ciao

[SimonSays92]

E se invece dovessi calcolare, usando la funzione di ripartizione:

$P(X<0.3; Y>0.5)$? Che valore sostituisco nella Y? Per favore aiutami so farlo con la funzione di densità ma non con quella di ripartizione.

[tommik]

Con una variabile bidimensionale basta fare il grafico del dominio per vedere che

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

$P(X<0.3;Y>0.5)=F(0.3;2)-F(0.3;0.5)=9/40$

e ciò in quanto $F(0.3;2)$ ti dà la probabilità del rettangolo $(0;0.3) xx (0;2)$ e quindi per trovare la probabilità del rettangolo colorato devi sottrarre la probabilità del rettangolino in basso a sinistra


Se posso darti un consiglio, di fronte a difficoltà dovute a dispense o spiegazioni troppo succinte, basta usare i libri: ce ne sono molti, fatti bene e con tutte le spiegazioni di dettaglio; i seguenti sono solo degli esempi di libri che conosco e che garantisco essere fatti davvero bene:

1) Mood Graybill Boes, della McGraw Hill
2) Sheldon Ross

ecc ecc.....