$ E(X+Y+Z| X>1, Y>2, Z>3) $
dove E() sta per valore atteso, purtroppo non ho trovato un esercizio simile nei miei appunti e non so se ho fatto bene.
Per prima cosa siccome in generale $ E(X+Y) = E(X) + E(Y) $ ed essendo le 3 va indipendenti ho scritto:
$ E(X+Y+Z| X>1, Y>2, Z>3) = E(X|X>1) + E(Y|Y>2) + E(Z|Z>2) $
ora avendo 3 variabili simili mi sono concentrato sul caso generale $ E(X|X>a) $
per prima cosa ho calcolato la densità condizionata, visto che sono va continue ho preferito usare la funzione di ripartizione che ho calcolato in questo modo:
$ P(X<x|X>a) = (P(a<X<x))/(P(X>a)) $ dove il numeratore è l'integrale della densità tra a e x e il denominatore il complemento a 1 della funzione di ripartizione di un esponenziale nel punto a e come risultato mi viene:
$ 1-exp(-u(x-a)) $ e per ottenere la densità ho derivato ottenendo $ u(exp(-u(x-a)) $
per ottenere la media condizionata ho integrato tra a e +inf $ xu(exp(-u(x-a)) $
per risolverlo ho fatto l'integrazione per parti (c'è un modo più veloce?) ed il risultato è $ a + 1/u $
quindi in definitiva la media condizionata delle somme mi viene $ 6 + 1/u + 1/v + 1/w $
Se ho fatto bene in pratica una va esponenziale condizionata si distribuisce come una va esponenziale non condizionata ma "non parte da 0 bensì da a" e ciò mi sembra anche logico considerando che non la va non ha memoria
Il dubbio principale riguarda se è corretto questo (considerando che sono indipendenti):
$ E(X+Y+Z| X>1, Y>2, Z>3) = E(X|X>1) + E(Y|Y>2) + E(Z|Z>2) $
inoltre in generale se devo calcolare una densità condizionata del tipo $ X|Y $ dove entrambe le va sono continue e il condizionamento non è del tipo Y=a ma Y<a o Y>a va bene fare in questo modo?
$ P(X<x|Y>a) = (P(X<x, Y>a))/(P(Y>a)) $ per poi derivare in modo da ottenere la densità? (il numeratore lo otterrei per integrazione) Se no c'è un modo più rapido?
Se no avrei pensato $ P(X=x|Y>a)= (P(X=x, Y>a)) / (P(Y>a)) $ ma essendo variabili continue il numeratore sarebbe zero, per ovviare al problema potrei utilizzare la densità di X ma a quel punto il numeratore non sarebbe ne la densità congiunta ne la funzione di ripartizione congiunta e quindi non so nemmeno quanto sia corretto
Ci sono eventuali metodi più veloci per risparmiare tempo?
Grazie per le risposte
