Stima Bayesiana e intervalli di confidenza

[meemowsh]

Ciao!
avrei bisogno di una mano con questo esercizio:

Sia $x~ Poisson$. In uno studio si rilevano i valori $x_1...x_n$. Impostare il problema della stima di $lambda$ usando la stima Bayesiana scegliendo un'opportuna prior sapendo che in base ad informazioni precedenti si pensava che il parametro fosse compreso al 95% nell'intervallo [0.5 1].

Se non ci fosse il vincolo sull'intervallo di confidenza procederei così:

So che la distribuzione gamma è coniugata alla poissoniana quindi se $lambda ~ Gamma (a,b)$ a priori, allora a posteriori:
$lambda ~ Gamma (a+sum(x_i) , b+n)$ non ho però idea di come sfruttare il fatto che $lambda$ è compreso al 95% nell'intervallo [0.5 1]. Come cambia la stima in questo caso?

[bassi0902]

Devi impostare i parametri $a$ e $b$ della prior affinché la probabilitá di avere $\lambda$ nell'intervallo $[0.5,1]$ sia $0.95$.

EDIT: il problema non mi sembra essere risolvibile univocamente, quindi una strategia alternativa potrebbe essere fissare media e varianza della distribuzione gamma affinché il 95% dei valori sia contenuto dentro l'intervallo sopracitato.

[meemowsh]

Devi impostare i parametri $a$ e $b$ della prior affinché la probabilitá di avere $\lambda$ nell'intervallo $[0.5,1]$ sia $0.95$.

Si fin qui ci ero arrivato, però quello che non capisco è come faccio a impostare $a$ e $b$ della Gamma e contemporaneamente agire sul parametro $\lambda$ della distribuzione di Poisson?

[tommik]

Prima di tutto, in Statistica bayesiana, si parla di Intervalli di Credibilità e non di confidenza.

Tornando all'esercizio, come ti ha ben spiegato @bassi0902, l'unica cosa che ti manca da calcolare sono i parametri $a,b$ della Gamma. Per farlo, basta calcolare $P (1/2<lambda <1)=0,95$ con $f_lambda~Gamma (a,b) $

Per renderlo univocamente risolvibile, dato che la $Gamma $ è asimmetrica occorre scegliere una metodologia di soluzione: in genere si sceglie l'intervallo a code equiprobabili. A questo punto basta standardizzare, sapendo che $Y=2blambda ~chi_((2a))^2$

In pratica $P (b <Y <2b)=0,95$
Sfogliando le tavole della $chi^2$ sì vede che in prossimità di 60 gdl abbiamo $P (Y <40 )~~2,5%$ e $P (Y>80)~~2,5%$ e quindi $2a~~60$ ovvero $a~~30$

Ora, con un qualunque calcolatore (anche Excel va bene) trovi i valori esatti di $a,b $.
Dato che al momento io ho solo cellulare e tavola uso un'approssimazione gaussiana abbastanza accurata quando i gdl >30

$u_(alpha)=1/2 (z_(alpha)+sqrt (2n-1))^2$ trovando $b=45$ e $a=33$

Qualche osservazione?

[meemowsh]

Grazie per la risposta intanto. A leggerla così rapidamente ci sono un paio di cose che non mi sono proprio chiare però appena avrò più tempo provo a riguardare l'esercizio con calma e ti scrivo eventuali dubbi/osservazioni.

[tommik]

Tra l'altro rileggendo bene il testo non chiede di trovare l'intervallo di credibilità di $lambda $ ma solo di impostare il problema della stima del parametro e quindi è presto risolto stimando $lambda $ con la media della distribuzione a posteriori. Una volta stimato puntualmente $lambda $ puoi risolvere eventuali quesiti sul processo di poisson. Ad esempio:
Calcolare $P (X=0)=e^(-lambda) $ verrà stimato con la sua media a posteriori

$inte^(-lambda)pi (lambda |x)dlambda $

[meemowsh]

A questo punto basta standardizzare, sapendo che $Y=2blambda ~chi_((2a))^2$

Non riesco a capire che proprietà hai sfruttato qui?

[tommik]

$lambda~Gamma (a,b) $

Per calcolare i valori di probabilità o risolvi l"integrale della gamma oppure ti ricordi che la chi quadro è una particolare gamma: $chi_((n))^2=Gamma (n/2;1/2) $

Ora se $X~Gamma (n; theta)$ allora $Y=2thetaX~Gamma (n;1/2)=Gamma ((2n)/2;1/2)=chi _((2n) )^2 $

Per provarlo basta trasformare la variabile.

$X~Gamma (n;theta)$

Poniamo $Y=g (X)=2thetaX $

Quindi $X=Y/(2theta) $ e ovviamente risulta

$f_Y=f_X (g^(-1 )(y))|d/(dy)g ^(-1)(y)|$

$f_Y (y )=theta ^n/(Gamma (n))y^(n-1)/(2theta)^(n-1)e^(-y/2)*1/(2theta)=(1/2)^n/(Gamma (n))y^(n-1)e^(-y/2) $

ti ho anche predisposto un esempio esemplificativo sulla logica di stima bayesiana qui

[meemowsh]

Grazie mille Tommik! Sempre gentilissimo