Probabilità totale in esercizio

Messaggioda rmba » 15/09/2017, 14:41

Un saluto a tutti, questo è il mio primo post.
Ho un problema svolto di calcolo delle probabilità di cui non riesco a capire la soluzione.

Ho un impianto di produzione che durante la lavorazione di un ordinativo ha una probabilità
$pi(n)=p^n/b$ di subire interruzioni.
Queste sono o di tipo E o di tipo M, con pari P = 0.5 e non possono essere di altro tipo.
Viene chiesto di calcolare la probabilità che fra le interruzioni ve ne siano esattamente n di tipo E.

Viene introdotta una probabilità condizionnata
$P(E(n)|A(n+k))$
dove $E(n)$ è l'evento "si verificano esattamente n interruzioni di tipo E"
e $A(n+k)$ è "si verificano esattamente n + k interruzioni".
Pensandoci ha senso perchè ne ho n di quel tipo se ce ne sono state o di quel tipo o dell'altro in numero almeno pari a n (in quel caso sono state solo di tipo E, mentre nel caso n+k con k>0 almeno una di tipo M), mentre le interruzioni di qualsiasi tipo sono state meno di n la probabilità è 0.
Con bernoulli viene calcolata la probabilità di avere n interruzioni E su n+k verificate.

Poi usa il teorema della probabilità totale per ricavare $P(E(n)$, cioè la probabilità non condizionata.

Perchè?

Grazie.
rmba
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Re: Probabilità totale in esercizio

Messaggioda rmba » 15/09/2017, 15:21

Scrivo paro paro il testo del quesito: "trovare la probabilità che tra tutte le interruzioni ve ne siano esattamente n di tipo E".

Riporto il passaggio dove usa la probabilità totale:

$P(E(n)) = Sigma(P(E(n)nn A(n+k))$ dove la somma varia da k=0 a +$oo$
ho riportato già la sommatoria delle probabilità anzichè scrivere l'unione degli eventi E(n)

Quello che non capisco è come mai debba usare l'intersezione e non sia sufficiente usare la probabilità condizionata calcolata sopra.
rmba
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Re: Probabilità totale in esercizio

Messaggioda rmba » 15/09/2017, 16:03

Tralasciando il discorso matematico delle partizioni, quello che non capivo era il motivo e forse adesso ci sono arrivato:
viene chiesta la probabilità di avere n interruzioni a prescindere da quante ce ne sono state. In numeri: se n fosse 3 interruzioni, la probabilità sarebbe quella di averne 3 di tipo E sia che ce ne siano 3, sia che ce ne siano 1000 o un milione... e allora moltiplica la condizionata per l'intersezione, come da formula, per smarcarsi dalla condizione.

giusto?
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Re: Probabilità totale in esercizio

Messaggioda rmba » 15/09/2017, 16:49

Ci devo riflettere perchè la mia difficoltà è l'approccio che non è generale, ma rivolto al singolo problema.
Se riuscissi, per ognuno dei problemi ad identificare eventi, partizioni di omega e i "pezzi" degli insiemi assegnando correttamente dovrei uscirne sempre.
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Re: Probabilità totale in esercizio

Messaggioda rmba » 20/09/2017, 08:54

Sono riuscito a capire il problema. Ho ragionato, anzichè con gli n generici, con pochi elementi finiti.

L'insieme E è un sottoinsieme dello spazio campionario (interruzione elettrica è una interruzione) e lo spazio è partizionato con gli insiemi A disgiunti.
Il problema chiede di ricostruire E avendo le partizioni e una probabilità condizionata di cui in apparenza non si fa niente.
L'insieme E viene ricostruito unendo tutti i pezzi comuni tra E stesso e gli insiemi che formano la partizione, da cui deriva la formula di unione infinita delle intersezioni.
Con la probabilità condizionata ricavo l'intersezione e sostituisco.

E' corretto parlare di aree dei rettangoli in questo caso, considerando che un lato misura Ak e l'altro E? L'unione, cioè la somma delle aree mi restituisce la parte dello spazio che interessa.
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