2 esercizi sulla funzione di densita congiunta

[Burungu]

Un sistema di controllo $ delta $ è costituito da due dispositivi $ alpha $ e $ beta $ e sono in parallelo. Siano $ X,Y,T $ tempi aleatori divita di $ alpha $ e $ beta $ ed $ delta $ rispettivamente. La densità congiunta $ f(x,y) = 3e^-(2x+3/2y) ; x> 0 ,y>0 $
Determinare se $ X $ e $ Y $ sono stocasticamente indipendenti e calcolare la funzione di ripartizione del sistema.


Sia $ (X,Y) $ un vettore aleatorio con la seguente densità $ f(x,y)=6e^-(2x+3y);x,y>= 0 $
Stabilire se $ X $ e $ Y $ sono stocasticamente indipendenti. Calcolare il valore atteso di $ E(Y) $ e la densita di probabilità $ Z=X/Y $

Il mio problema principale è determinare se sono stocasticamente indipendenti. Infatti penso che non lo siano invece lo sono. Io utilizzo questa formula $ f(x,y)=fchi(x)fy(y) $ dove ovviamente $ fchi(x)= int_(0)^(x) f(x,y) dy $ e analogamente mi trovo la funzione di densita marginale rispetto alla y. Moltiplico i risultati tra di loro e vengono diversi dalla funzione di densità congiunta iniziale. In cosa sbaglio?
Inoltre per calcolare la funzione di ripartizione $ F(x)=int_(0)^(x)fchi(x) dx $

P.S ho messo il $ chi $ perche putroppo non sapevo come mettere il pedice di x. Scusatemi.

[tommik]

Il mio problema principale è determinare se sono stocasticamente indipendenti.

dove ovviamente $ fchi(x)= int_(0)^(x) f(x,y) dy $

Ovviamente mica tanto. Prima di tutto la formula corretta è questa: $f_X(x)=int_(0)^(+oo)f(x,y)dy$ ma poi con simili PDF congiunte non serve nemmeno stare a scomodare il calcolo integrale....

Esercizio 1)

$3 e^(-(2x+3/2y))=2e^(-2x)*3/2e^(-3/2 y)$


Esercizio 2)


$6e^(-(2x+3y))=2e^(-2x)*3e^(-3 y)$


come vedi, con un semplice passaggio algebrico, le due PDF congiunte sono state fattorizzate nel prodotto di due esponenziali, ovvero nel prodotto delle due densità marginali....quindi Sì, le variabili sono indipendenti.

Ora che "il problema principale" te l'ho risolto puoi continuare tu....buon lavoro.

Per mettere il pedice basta usare l'underscore, così: $f_X(x)$. Inoltre, dato che $F_X(x)$ è una funzione integrale, per l'integranda dovresti usare un'altra variabile ...... sono regole matematiche elementari che, postando in una stanza applicativa, dovrebbero essere note.

Ad esempio così:

$F_X(x)=int_(0)^(x)f_U(u)du$

PS: è meglio mettere un esercizio per ogni topic in modo da mantenere la stanza in ordine altrimenti non si capisce più nulla.
Usa questo topic per il primo esercizio e, in caso di necessità, aprine un altro per il secondo

ciao

[Burungu]

Grazie mille!! Riguardo la funzione ripartizione ti ringrazio perché per comodità mi ero dimenticato la formalità.
Invece riguardo la funzione marginale di densità pensavo fosse tra 0 e una funzione $ X $ dato che negli esercizi in cui il dominio È un cerchio triangolo ecc.. si doveva la funzione di densita marginale sempre esplicare rispetto ad una $ X $ o $ Y $.