Calcolo di densità di probabilità...mai vista!!

[Christiantric]

Salve a tutti matematici e non.
Stavo provando a svolgere questo esercizio:

La variabile aleatoria X è uniformemente distribuita sull'intervallo (0,2PI); si trovi la legge della variabile aleatoria Y=cosX.

Scusate ma quando premo alt+4 non mi viene inserito il dollaro ma viene emesso solo un suono da che dipende?
Cmq se riuscite ad aiutarmi...il problema mi si pone per il fatto che cosX non è monotona in (0,2PI).

Grazie in anticipo:

[Inmytime]

va suddiviso il dominio in pezzi: (0,pi/2), (pi/2,pi) etc. poi va calcolata la legge di distribuzione su ogni pezzo, dove la funzione è invertibile

[Christiantric]

va suddiviso il dominio in pezzi: (0,pi/2), (pi/2,pi) etc. poi va calcolata la legge di distribuzione su ogni pezzo, dove la funzione è invertibile

Si grazie a questo ci ero diciamo arrivato il problema qua è che si tratta di v.a. che come probabilmente saprai non godono esattamente delle stesse proprietà delle funzioni continue reali. Dunque nello svolgimento arrivo a:

$P(Y<=t) = P(cosX<=t) = ....$ come continuo? Devo procedere scrivendo tutto in X. Come divido l'intervallo? Devo calcolare due funzioni di ripartizione distinte e poi sommarle? E si può fare? Questi i miei dubbi...

[Inmytime]

non conviene passare per la funzione di ripartizione... pensavo conoscessi il teorema per passare da una legge di distribuzione all'altra, il risultato è questo

$fy(y)=Sum (fx(x))/|sin(x)|$

dove la somma è fatta su ogni pezzo, cioè su ogni x tale che y=cosx (ad es. per y=0 bisogna fare la somma per x=0.5PI,1.5PI). Attenzione: y=1 è punto singolare

[Christiantric]

non conviene passare per la funzione di ripartizione... pensavo conoscessi il teorema per passare da una legge di distribuzione all'altra, il risultato è questo

$fy(y)=Sum (fx(x))/|sin(x)|$

dove la somma è fatta su ogni pezzo, cioè su ogni x tale che y=cosx (ad es. per y=0 bisogna fare la somma per x=0.5PI,1.5PI). Attenzione: y=1 è punto singolare

Infatti non conosco questo risultato e sinceramente non riesco nemmeno a capirlo. Per somma intendi l'integrale??

[Inmytime]

no, proprio la somma, esempio

$fy(0)=(1/(2PI))*(1/(|sin((PI)/2)|)+1/(|sin(3(PI)/2)|))$

per ottenere una forma compatta bisogna lavorarci un po... comunque senza questo teorema il calcolo di fy è impossibile (o quantomeno io non ho la più pallida idea di come si possa fare). forse prima di fare l'esercizio ti conviene aspettare che il professore spieghi questa cosa, lo farà sicuramente perchè il teorema che ti ho detto è piuttosto importante

[lupo grigio]

.... nello svolgimento arrivo a:

$P(Y<=t) = P(cosX<=t) = ....$

... come continuo?...

L'inizio è scelto assai bene e pertanto continuare dovrebbe essere 'facile'...

Data $y=cos x$ e volendo calcolare la funzione la sua densità di probabilità $phi(t)$ il procedimento 'classico' è il seguente...

$P(y<t)=P(cos x<t)= 2/(2*pi)*(pi-cos^(-1) t)$ (1)

Ora per definizione la $phi(t)$ altro non è che la derivata della (1) per cui...

$phi(t)=1/(pi*sqrt(1-t^2)$ (2)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Inmytime]

Data $y=cos x$ e volendo calcolare la funzione la sua densità di probabilità $phi(t)$ il procedimento 'classico' è il seguente...

$P(y<t)=P(cos x<t)= 2/(2*pi)*(pi-cos^(-1) t)$

eh no, il coseno non è invertibile in (0,2PI): questa andrebbe bene se il dominio di X fosse (0,PI/2)