Media, varianza e densità condizionata

[bellrodo]

Ciao, spero che qualcuno possa darmi un input per poter impostare correttamente un esercizio che mi sta mettendo in difficoltà.

Sia $X~exp(3/2)$ e sia $Y|X~\Gamma(x^2,x)$.

$a) $ Calcolare $E(Y)$ e $Var(Y)$.
$b) $ Calcolare la funzione di densità congiunta di $X$ e $Y$.

Allora, per quanto riguarda il punto $a$, le formule per la media e la varianza condizionata le ho studiate ma non riesco a capire come applicarle in questo contesto.
In particolare, mi stanno mettendo in difficoltà i parametri della $\Gamma$.

Mentre, per il punto $b$ so che:

$f_X = 3/2e^{-3/2x}$;

$f_{Y|X}=(f_{X,Y})/(f_{X}) => f_{X,Y}=f_{Y|X}f_X$.

Ma non capisco come ricavare $f_{Y|X}$, sempre per lo stesso problema (parametri della $\Gamma$).

[tommik]

$E[Y[=E[E(Y|X)]$

La media di $Y|X$ la conosci. Poi medi ancora rispetto a x ed hai finito. Per la varianza discorso analogo. Per la distribuzione congiunta non penso tu abbia problemi . Basta moltiplicare le due densità note.

$f(y|x)$ è una $Gamma (a,b)$ solo che al posto di a ci scrivi $x^2$ e al posto di b $x$.

Ciao

[bellrodo]

Ciao tommik, grazie

$E[Y[=E[E(Y|X)]$

La media di $Y|X$ la conosci.

è quì che trovo difficoltà, come faccio ad ottenere $E(Y|X) $ ?
Basta che calcolo la media come se fosse una generica $\Gamma $ ?

Ovvero, $E(Y|X)=x^2/x=x$

[tommik]

Esattamente! In questo momento x è solo un parametro. Ovviamente a seconda della parametrizzazione della gamma potrebbe essere $x^2/x$ oppure $x^2*x$. Questo lo devi sapere tu¹ . Dopodiché fai la media rispetto a x e stop. Banalissimo

Per la varianza stessa manfrina... calcoli il momento secondo condizionato ecc ecc

Prova anche a calcolare $E[XY]$

---

Note

1. il libro di solito specifica quale sia la densità a cui si fa riferimento; altrimenti basta che lo specifichi tu. ↑

[bellrodo]

Allora:

$E(Y)=E[E(Y|X)]$

$E(Y|X)=x^2/x=x => E(Y)=E(x)$.
Ma ora come faccio a calcolare questa media?

Poi:

$Var(Y)=E[Var(X|Y)]+Var[E(Y|X)]= E(1)+Var(x)$.
Stesso dubbio, come faccio a calcolare $Var(x)$?

Non capisco come devo trattare quella $x$

[tommik]

Media è varianza di x sono quelli dell"esponenziale... come fai a non saperlo fare
$E(X)=int_0^(oo)3/2xe^(-3/2 x)dx=2/3$

Per la varianza calcoli il momento secondo condizionato $E(Y^2|X)=1+x$

Quindi $V(Y)=E(1+x)-E^2(X)=1+2/3-4/9=11/9$

Ora però ho fatto tutto io... tu puoi fare $E(XY)$

Azz no ho sbagliato i conti ( sto facendo i conti a mente)

$E(Y^2|X)=1+x^2$

Quindi

$V(Y)=E(1+X^2)-E^2(X)=1+E(X^2)-4/9$

$E(X^2)=V(X)+E^2(X)$

Oppure $E(X^2)=int_0^(oo)3/2 x^2 e^(-3/2 x)dx=4/9 Gamma(3)=8/9$

Come preferisci

Quindi in definitiva viene

$V(Y)=1+8/9 -4/9=13/9$

Sorry...

Anche facendo come volevi fare tu va bene

$V(Y)=V[E(Y|X)]+E[V(Y|X)]=V(X)+E(1)=4/9+1=13/9$

[bellrodo]

Ok perfetto, tutto chiaro, grazie
Non avevo capito che $E(x)$ fosse $E(X)$

Per il secondo punto, procedo così:

$f_{X,Y}=f_{Y|X}*f_X=$

$3/2 * (x^{x^2} (y|x)^{x^2 -1}e^{-x (y|x)-3/2x})/(\Gamma(x^2))$

Giusto?

[tommik]

Boh basta moltiplicare le due densità...senza carta e penna non riesco a controllarlo.

A prima vista mi pare corretto, però non devi scrivere $(y|x)$ ma solo $y$. Nella densità condizionata x è un parametro. Intanto ti mostro il quesito che ti ho proposto io.... più interessante, secondo me

$E(XY)=E[E(XY|X)]=E[xE(Y|X)]=E(X^2)=8/9$

[markowitz]

Bell'esercizio anche se incasinato con i termini.
Infatti forse mi sto confondendo ma la $V[Y]$ che suggerisci non mi convince al 100%.

Ovvero:

$E(Y^2|X)=1+x^2$

Quindi

$V(Y)=E(1+X^2)-E^2(X)=1+E(X^2)-4/9$

come fai a dire che $E(Y^2)=E(1+X^2)$ ?

Anche facendo come volevi fare tu va bene

$V(Y)=V[E(Y|X)]+E[V(Y|X)]=V(X)+E(1)=4/9+1=13/9$

come fai a dire che $V[E(Y|X)]=V(X)$ ?

a me verrebbe da dire
$V(Y)=V[E(Y|X)]+E[V(Y|X)]=V(x)+E(1)=0+1=1$
questo perché $E(Y|X)$ diventa una costante e non più una v.a.
e facendo altri due calcoli trovo $E(Y^2)=1+x^2=E(Y^2|X)$
quindi:
$V(Y)=E(Y^2)-E^2(X)=1+x^2-x^2=1$
sbaglio

N.B: $E(1+X^2)$ è cosa diversa da $1+x^2$

[tommik]

No è la stessa cosa. $E(Y|X=x)$ viene ovviamente $a/b=x$. Qui hai ragione a dire che è una costante ma solo per la probabilità condizionata; poi occorre mediare tale risultato rispetto a X, ovvero rispetto a tutti i valori di $x in RR^+$. Ergo viene $E(X)=2/3$

Non so se mi sono spiegato

Allo stesso modo $E[Y^2|X=x]=V(Y|X=x)+E^2(Y|X=x)=1+x^2$

Poi medi rispetto alla variabile X ed ottieni il risultato

Guardate anche questi:

viewtopic.php?f=34&t=167487&p=8241664#p8241614

viewtopic.php?f=34&t=169203&p=8250179#p8250179

Ditemi se è chiaro o se ho scritto fesserie