ammetto che ci sia un po' di ambiguità in talune scritture, ambiguità che trovi anche nei testi. In generale, senza ulteriori spiegazioni e precisazioni le due simbologie
$E(Y|X)$ e $E(Y|X=x)$ sono la stessa cosa, e la prima è solo una scrittura "alleggerita" della più corretta seconda.
Occorre anche interpretare l'esercizio. Nel caso in esame la notazione è chiara perché ti danno una densità che è condizionata ad un parametro e poi la distribuzione di tale parametro. Se invece di $X$ avessero indicato $theta$ non ti saresti nemmeno posto il problema.
Per supportare la correttezza del mio procedimento ti faccio un esempio simile ma più semplice che può essere facilmente risolto anche per via analitica, senza utilizzare le proprietà del valore atteso condizionato (che però mi piacciono un sacco!)
Abbiamo la seguente distribuzione condizionata
$f(x|theta)=thetae^(-thetax)$
che, più correttamente, andrebbe scritta così: $f_(X|Theta)(x|Theta=theta)$ (ma che per semplicità di notazione la teniamo scritta come sopra)
abbiamo anche la distribuzione del parametro: Uniforme in $(1;2)$
In pratica f è una esponenziale negativa con il parametro che può assumere qualutnque valore fra uno e due, uniformemente.
Calcolare la media di $X$
Con il metodo analitico (definizione di valore atteso) non si può sbagliare e non vi sono fraintendimenti:
$E(X)=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)xf(x,theta)dxd theta=int_(1)^(2)d theta int_(0)^(oo)xthetae^(-thetax)dx=...=log2$
ora vediamo la soluzione che ho proposto io
$E(X)=E[E(X|Theta)]=E[1/theta]=int_(1)^(2)1/theta d theta=log2$
in questo caso era inutile il secondo metodo (anche se più elegante) ma in altri casi, calcolare il valore atteso in maniera analitica può essere arduo e a volte anche impossibile.
Spero di aver chiarito la questione