[Esercizio Probabilità condizionata] Estrazione carte di picche

[Magma]

Si scelgono tre carte a caso, senza rimpiazzo, da un mazzo da poker da 52 carte. Calcolare la probabilità condizionata che

$a)$ la prima carta scelta sia di picche, sapendo che la seconda e la terza lo sono?
$b)$ le tre carte siano di picche, sapendo che almeno due lo sono?

Siano $S$ l’insieme delle possibili permutazioni di un mazzo da poker di 52 carte. $#S = 52!$.
Sia $P$ la misura di probabilità su $S$ t.c. $P({s}) = 1/(#S), ∀s in S$.
Siano $E,F,G,H in 2^S$ gli eventi

$E:={\text{La prima carta è di picche}}$
$F:={\text{La seconda e la terza carta sono di picche}}$
$G:={\text{Sono tutte e 3 di picche}}$
$H:={\text{Almeno due carte sono di picche}}$

Nella soluzione è posto che $P(H)=P(G)+3P(F)$; è giusto? Secondo me dovrebbe essere $P(H)=sum_(i=2)^13 ( ((13),(i)) ) / ( ((52),(i) )$

[tommik]

$G:={\text{Sono tutte e 3 di picche}}$
$F:={\text{La seconda e la terza carta sono di picche}}$
$H:={\text{Almeno due carte sono di picche}}$

Nella soluzione è posto che $P(H)=P(G)+3P(F)$; è giusto?

Se l'evento F esclude il fatto che la prima possa essere di picche è corretto.
Così come lo hai definito tu, F non implica che la prima carta non sia picche. Tu hai derfinito il seguente evento: prima carta qualunque, seconda e terza di picche.. Ma la prima può essere di picche come non esserlo.


Almeno 2 picche significa 2 carte di picche oppure 3. Quindi possono essere di picche

${1;2}$
${1;3}$
${2;3}$

${1;2;3}$

I primi 3 eventi sono equiprobabili, da cui la soluzione del libro

Alternativamente puoi fare $1-P("zero picche")-P("1 picche")$


Se vuoi utilizzare i coefficienti binomiali si può fare, ma in modo corretto secondo una delle due alternative seguenti:

$P{"almeno due picche su 3"}=(((13),(2))((39),(1)))/(((52),(3)))+(((13),(3))((39),(0)))/(((52),(3)))=1-(((13),(0))((39),(3)))/(((52),(3)))-(((13),(1))((39),(2)))/(((52),(3)))~~ 0.15$

[Magma]

Ah.. giusto! Mi ero perso il fatto che faccio solamente tre pescate, per cui $H$ lo immaginavo essere l'evento

${\text{2 di picche}}uu{\text{3 di picche}}uu{\text{4 di picche}}uu...uu{\text{ 13 di picche}}$;

e noto con dispiacere che anche in questo caso la sommatoria scritta sarebbe stata ugualmente sbagliata.

$ G:={\text{Sono tutte e 3 di picche}} $
$ F:={\text{La seconda e la terza carta sono di picche}} $
$ H:={\text{Almeno due carte sono di picche}} $

Nella soluzione è posto che $ P(H)=P(G)+3P(F) $; è giusto?

Se l'evento F esclude il fatto che la prima possa essere di picche è corretto.
Così come lo hai definito tu, F non implica che la prima carta non sia picche.

Gli eventi li ho postati così come sono stati definiti nella soluzione. Ah ecco non ho postato i valori

$P(E)=(13*51!)/(52!) =13/52$

$P(F)=(2 ((13),(2))*50!)/(52!) =(13*12)/(52*51)$

$P(G)=(3!((13),(3))*49!)/(52!) =(13*12*11)/(52*51*50)$

Ora è più chiaro che dall'evento $F$ è escluso che la prima possa essere di picche; quindi è giusto come l'ha definito.

Grazie!

[tommik]

Beh oddio giusto.... sia in questo che in un tuo precedente topic, la traduzione degli esercizi era davvero pessima ed anzi, a mio avviso, errata. Il mio consiglio, se stai studiando sul Ross è quello di munirti della versione originale.

Secondo me chiedere la probabilità che la seconda e la terza siano di picche e calcolarla escludendo che la prima lo sia ti crea un 'enorme confusione sull'applicazione del calcolo per esercizi futuri ben scritti. Anche nel precedente topic l'esercizio ti ha fornito la soluzione corretta ma riferita ad una traccia diversa

Questa ovviamente è solo la mia opinione....

[Magma]

Purtroppo questo è un esercizio del tutor del corso di Probabilità e Statistica che seguo

[tommik]

Lo immagino... ma se scrivi sul forum mi permetto di fare le mie osservazioni, anche su come vengono poste le tracce.

[Magma]

Lo immagino... ma se scrivi sul forum mi permetto di fare le mie osservazioni, anche su come vengano poste le tracce.

Certamente!