Funzione di distribuzione cumulativa

[fabiett]

Ciao a tutti! Non riesco a risolvere i punti c) e d) del seguente esercizio:

Ho svolto in questo modo ma senza successo:
$ int_(0)^(0.5) (x^2+0.2) dx + int_(0.5)^(0.75) x dx - int_(0)^(0.25) (x^2+0.2) dx $
Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Magma]

Ciao

$F(a)=P(-oo<X<a)=int_(-oo)^a f(x) dx, AA a in RR$

Sai ricavare la densità conoscendo la funzione di ripartizione?

P.S. dovresti scrivere il testo a mano perché i link delle immagini scadono e, di conseguenza, il topic rimarrebbe senza traccia

[fabiett]

Ma quel $-oo$ non dovrebbe essere sostituito da $0.25$?

[Magma]

Quella è una formula generale. Era per farti capire che hai integrato la funzione di ripartizione mentre si dovrebbe usare la densità.

Per essere più attinente alla richiesta del tuo esercizio, si ha:

$F(b)-F(a)=P(a<=X<=b)=int_a^b f(x)dx, AAa<b$

[fabiett]

Penso di aver capito: per trovare la densità devo derivare la funzione di ripartizione, giusto? E poi seguo il ragionamento che ho fatto prima ma considerando la densità...

[Magma]

C'è anche la formula di sinistra che fa al caso tuo: ed è più immediata

[fabiett]

la funzione di densità mi viene:
$0 , x<0$
$2x , 0<=x<0.5$
$1 , 0.5<=x<1$
$0 , x>=1$
Quindi $P[0.25<X<=0.75] =$ $ int_(0.25)^(0.75) f(x) dx = int_(0.25)^(0.5) (2x) dx + int_(0.5)^(0.75) dx = 0.4375 $ mentre il risultato è $0.4875$

[Magma]

la funzione di densità mi viene:

$f(x)={ ( 0, if x<0 ),(2x, if 0<x<0.5 ),( 1, if 0.5<x<1 ),(0, if x>1):}$

Quindi

$P[0.25<X<=0.75] = int_(0.25)^(0.75) f(x) dx = int_(0.25)^(0.5) (2x) dx + int_(0.5)^(0.75) dx = 0.4375 $

mentre il risultato è $0.4875$

Anche a me calcolando prima tramite la $F(x)$¹ e poi integrando la $f(x)$²è venuto così.
Per ora ho scoperto che dipende dal fatto che la funzione di ripartizione presenta un punto di discontinuità in $x=1/2$: infatti

$lim_(x->(1/2)^-)F(x)=lim_(x->(1/2)^-)x^2+0.2=1/4+1/5=9/20=0.45$

mentre

$lim_(x->(1/2)^+)F(x)=F(1/2)=1/2=0.5$

Quindi $F(x)$ passa da un valore limite di $y=0.45$ a $y=0.5$ la cui differenza è $0.05$.

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Note

1. $F(0.75)-F(0.25)=0.4875$ ↑
2. $int_(0.25)^(0.75) f(x) dx= 0.4375$ ↑

[tommik]

Per ora ho scoperto che dipende dal fatto che la funzione di ripartizione presenta un punto di discontinuità in $x=1/2$: infatti...

infatti la variabile in oggetto ha una densità mista....una parte discreta e l'altra continua. Però i punti di discontinuità della CDF sono due....

Premesso che l'esercizio si risolve come hai fatto tu e senza alcun problema, provate a calcolare la densità (correttamente, non come ha fatto @fabiett¹) e vedrete che il risultato torna....

Qui c'è la densità corretta, per vostro controllo...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f_(X)(x)-={{: ( 0.2 , ;x=0 ),( 2x , ;0<x<0.5 ),( 0.05, ;x=0.5 ),( 1 , ;0.5<x<=1 ),( 0 , ;"altrove" ) :}$

ovviamente anche la media si può calcolare utilizzando la formula con la CDF oppure con la densità....

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Note

1. che avviso di non postare più topic con la sola foto dell'esercizio ↑

[Magma]

infatti la variabile in oggetto ha una densità mista....una parte discreta e l'altra continua....

Non mi era mai capitato, né a livello teorico quantomeno pratico. Ora provvedo!