markowitz ha scritto:...Ma lo stimatore da trovare era quello di $theta$ che è $ T(x)=n/(Sigmalogx) $ e, se non erro, non ha più distribuzione Normale, quindi restano in gioco solo le proprietà asintotiche.
sì è vero. Io risolverei l'esercizio come ho indicato ma effettivamente, dato che il testo chiede lo stimatore di $theta$, si possono solo usare le proprietà asintotiche. Secondo me la sostanza della soluzione non cambia...
$hat(theta)=n/(Sigmalogx)$ e, per le proprietà degli stimatori di MV abbiamo che
$hat(theta)~N(theta;theta^4/n)$
e quindi si stima innanzitutto l'intervallo di confidenza asintotico per $theta$ utilizzando per la varianza la sua stima $hat(theta)/4$ trovando subito che $(hat(theta)-theta)/(hat(theta)^2) sqrt(n)~Phi_((0;1))$ di immediata risoluzione rispetto a $theta$
$hat(theta)-z/sqrt(n) hat(theta)^2<=theta<=hat(theta)+z/sqrt(n) hat(theta)^2$
Se volessimo esser più precisi si può provare ad invertire $(hat(theta)-theta)/theta^2 sqrt(n)~Phi_((0;1))$ trovando un intervallo di confidenza più preciso (ma ho paura che in questo caso la faccenda si complichi)
Successivamentemi ricondurrei ad un intervallo di confidenza della mediana (che è comunque funzione di $theta$) in questo modo
$P{a<=theta<=b}=1-alpha$
$P{1/b<=1/theta<=1/a}=1-alpha$
$P{e^(1/b)<=e^(1/theta)<=e^(1/a)}=1-alpha$
tu invece come faresti?