Funzione generatrice passeggiata casuale

[Saxbenex]

Buongiorno a tutti,

sto svolgendo il seguente esercizio: si consideri una passeggiata casuale su $Z$ con $\frac{1}{2} \le p \le 1$. Sia $p_n$ la probabilità di tornare all'origine in $2N$ passi ( dunque $p_n=$ binomiale di 2n su n $* (pq)^n$). A questo punto devo calcolare la funzione generatrice di $p_n$, che per definizione è: $$\pi(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} * (pq)^n * s^n.$$ Come faccio ora a dire che $\pi(s)=\frac{1}{\sqrt{1-4pqs^2}}$?

Grazie a coloro che proveranno a rispondermi!

[killing_buddha]

Da dove viene $s^2$? Non c'è piuttosto \(\frac{1}{\sqrt{1-4pqs}}\)?

[Saxbenex]

Sì, scusa, ho sbagliato a scrivere. La funzione generatrice di $p_n$ è $$ \pi(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} * (pq)^n * s^{2n} .$$ (non so perchè dato che la funzione generatrice è la somma di tutti i prodotti fra $p_n$ e $s^n$...).