c'è una cosa che non mi torna nel calcolare la varianza di una sommatoria di variabili indipendenti. Si tratta di:
\[\sum_{i=1}^N (x_i + x_{i+1}) \]
Ora, mi sembra chiaro che ci siano due modi per farla.
Primo metodo (indiretto) consiste nel sviluppare la sommatoria:
\[\sum_{i=1}^N (x_i + x_{i+1}) = x_1 + x_N + 2 \sum_{i=2}^{N-1} x_i \]
e poi calcolare la varianza ottenendo:
\begin{equation}\label{method1} var( \sum_{i=1}^N (x_i + x_{i+1}) ) = var ( x_1 + x_N + 2 \sum_{i=2}^{N-1} x_i ) = var(x_1) + var(x_N) + 4 \sum_{i=2}^{N-1} var(x_i ) \end{equation}
- Ora, il secondo approccio (diretto), applicando le varie proprietà della varianza, riportate, ad esempio, su wikipedia:
\[var( \sum_{i=1}^N (x_i + x_{i+1}) ) = \sum_{i,j}^N cov( x_i + x_{i+1}, x_j + x_{j+1} )\]
l'ultima sommatoria avrà elementi non nulli solo per j=i , j=i-1 , j=i+1 ; e quindi, continuando :
\[\sum_{i,j}^N cov( x_i + x_{i+1}, x_j + x_{j+1} ) = \sum_{i=1}^N [ cov( x_i + x_{i+1}, x_i + x_{i+1} ) + cov( x_i + x_{i+1}, x_{i-1} + x_{i} ) + cov( x_i + x_{i+1}, x_{i+1} + x_{i+2} ) ] = \sum_{i=1}^N [ var(x_i) + var(x_{i+1}) + var(x_i) + var(x_{i+1}) ] = \\2 \sum_{i=1}^N [ var(x_i) + var(x_{i+1}) ] = 2 var(x_1) + 2 var(x_N) + 4 \sum_{i=2}^{N-1} var(x_i ) \]
che differisce dall'equazione \ref{method1} . Perché? Quale dei due approcci è giusto?
Ringrazio anticipatamente chi mi saprà illuminare e chi ci proverà
