[Esercizio; Markov, Chebyshev] Punteggio appello finale

[Magma]

Buonasera ,

Dall'esperienza passata, un docente sa che se si sceglie uno studente a caso, il suo punteggio all'esame di fine corso sarà una v. a. di media $mu=75$.

$a)$ Dai un limite superiore alla probabilità che un punteggio superi gli $85$ punti.

Supponiamo che la varianza sia pari a $sigma^2=25$

$b)$ Cosa si può dire sulla probabilità che uno studente ottenga un punteggio compreso tra $65$ e $85$?

$c)$ Quanti studenti devono sostenere l'esame affinché vi sia una probabilità almeno di $0.9$ che la media dei punteggi della sessione non disti più di $5$ da $75$?

$a)$ Allora, per Markov

$P(X>=a)<=mu/a, AAa>0$

si ha

$P(X>=85)<=75/85=15/17$

$b)$ Per Chebyshev

$P(|X-mu|>=r)<=sigma^2/r^2$

si ha

$P(65<=X<=85)=P(|X-75|<=10)=$

$=1-P(|X-75|>10)=$

$<=1-25/100=75%$

$c)$ Per la legge debole dei grandi numeri Sempre per Chebyshev

$P(|(X_1+...+X_n)/(n)-mu|>epsilon)<=sigma^2/(n*epsilon^2)$

quindi si ha
$P(|(X_1+...+X_n)/(n)-75|<=5)=1-P(|(X_1+...+X_n)/(n)-75|>5)=$

$<=1-25/(n*25)$

$=1-1/n>=9/10$

$=n>=10$

È tutto giusto?

[tommik]

giusto ma hai pasticciato un po' con le disuguaglianze.....

2) Per Cebicev (o per la legge debole dei grandi numeri, che è lo stesso....) abbiamo che¹


$P{|X-75|>=10}<=25/100$

oppure

$P{|X-75|<10}>=1-25/100$

Utlizziamo la seconda formula e troviamo subito $p>=75%$

3) idem, $P{|bar(X)-75|<5}>=1-1/n>=0.9 rarr 1/n<=1/10 rarr n>=10$




Osservazione:
Una volta trovato $n>=k$ è il caso di ragionare se ci si debba fermare qui oppure applicare un'approssimazione migliore...infatti, non appena $n>=30-35$ conviene applicare un'approssimazione con la distribuzione gaussiana, lecita in virtù del Teorema del Limite Centrale, e che fornisce un intervallo più stretto.

Ecco alcuni esempi già risolti, basta digitare Cebicev sulla cella di ricerca in alto a destra

ESEMPIO1 (Markov)

ESEMPIO2

ESEMPIO3

ecc ecc


spero di esserti stato di aiuto

---

Note

1. la variabile $X$ è per ipotesi continua quindi su diversi testi puoi trovare le disuguaglianze deboli scritte in modo alternativo a questo, tanto la misura è sempre nulla in un punto ↑

[Magma]

giusto ma hai pasticciato un po' con le disuguaglianze.....

Mi dimentico sempre che c'è un meno davanti

Osservazione:
Una volta trovato $n>=k$ è il caso di ragionare se ci si debba fermare qui oppure applicare un'approssimazione migliore...infatti, non appena $n>=30-35$ conviene applicare un'approssimazione con la distribuzione gaussiana, lecita in virtù del Teorema del Limite Centrale, e che fornisce un intervallo più stretto.

Ecco alcuni esempi già risolti, basta digitare Cebicev sulla cella di ricerca in alto a destra

ESEMPIO1 (Markov)

ESEMPIO2

ESEMPIO3

ecc ecc


spero di esserti stato di aiuto

Ottimo, ti ringrazio!

[Magma]

Premetto che il TLC e la distribuzione gaussiana non l'ho ancora studiate ma, avendo dato un'occhiata, non capisco come applicare il teorema: non dovrei conoscere $sumX_i$?

La formula che ho trovato è la seguente

$P{(sumX_i-nmu)/(sigmasqrt(n))<x}$

[tommik]

infatti lo conosci.....nell'esercizio ti davano $bar(X)=(SigmaX)/n$

il TLC lo puoi applicare sia sulla $SigmaX$ che anche sulla $bar(X)$, basta prendere la formula del TLC e dividere numeratore e denominatore per $n$...ma lo vedrai

Colgo invece l'occasione per farti notare l'inutilità della disuguaglianza di Cebicev quando sia nota la distribuzione della variabile





Sia $X$ una va distribuita uniformemente su $[0;10]$, ovvero $f(x)=1/10$

calcoliamo

$P{|X-mu|<epsilon}>=1-sigma^2/epsilon^2$

sappiamo (se non lo sai te lo dico io) che

$mu_x=5$

$sigma_x^2=25/3$

Quindi con Cebicev otteniamo che

$P{|X-mu|<5}>=1-25/(3*25)=2/3$

Quindi $p>=2/3$.....e che risultato! sappiamo già prima di partire che $P{X in [0;10]}=1$

[Magma]

Ahhh... Ho frainteso io: pensavo di dover applicare il TLC per determinare il numero di studenti, cioè $n$ :S

[tommik]

Ahhh... Ho frainteso io: pensavo di dover applicare il TLC per determinare il numero di studenti, cioè $n$ :S

esattamente così. Non hai affatto frainteso....

Dalla formula che hai trovato tu, dividi sopra e sotto per n ottenendo

$(bar(X)-mu)/sigma sqrt(n)~Phi_((0;1))$


Se con Cebicev ti risulta un $n$ molto grande vale la pena di provare ad approssimare con una Gaussiana....e vedere se così facendo n diminuisce....ma se son cose che non hai ancora fatto le vederai.....non correre

[Magma]

Colgo invece l'occasione per farti notare l'inutilità della disuguaglianza di Cebicev quando sia nota la distribuzione della variabile

Sia $X$ una va distribuita uniformemente su $[0;10]$, ovvero $f(x)=1/10$
[...]
Quindi $p>=2/3$.....e che risultato! sappiamo già prima di partire che $P{X in [0;10]}=1$

Chiarissimo! Infatti Markov si usa quando si conosce solo la media $mu$ e Chebyshev quando si conosce media $mu$ e varianza $sigma^2$. Bell'esempio comuqnue

Ahhh... Ho frainteso io: pensavo di dover applicare il TLC per determinare il numero di studenti, cioè $ n $ :S

esattamente così. Non hai affatto frainteso....

ma lo vedrai

Attenderò allora Anche perché, mi sembra di aver capito che per il TLC mi serve conoscere anche la distribuzione gaussiana

[tommik]

Il TLC appunto afferma che, con n sufficientemente grande, $SigmaX$ oppure ciò che è lo stesso, $bar(X)$ si distribuisce SEMPRE come una gaussiana....ti posso anche fare dei semplici esempi...ora ci penso e ne butto giù un paio....

Lanciamo due dadi e cacoliamo la probabilità che la somma dei punteggi sia $SigmaX>10$. Il risultato è ovviamente $3/36~~8%$, basta guardare lo spazio campionario e fare #casi favorevoli / # casi possibili

Utlizzando la tua formuletta del TLC e ricordando che, lanciando un dado abbiamo:

$mu=3.5$ e $sigma^2=2.92$

otteniamo¹

$P{SigmaX>10}=P{Z>(10.5-2*3.5)/sqrt(2*2.92)}=P{Z>1.45}~~7.4%$

che non è un'approssimazione eccellente....ma abbiamo anche $n=2$.....quando n diventa 10 già l'approssimazione è ottima...in genere si usa il TLC quando $n>30$ quindi......

---

Note

1. ho messo 10.5 e non 10 per un motivo che capirai più avanti ↑

[tommik]

altro esempio: modifichiamo la tua traccia nel modo seguente:

$c)$ Quanti studenti devono sostenere l'esame affinché vi sia una probabilità almeno di $0.99$ che la media dei punteggi della sessione non disti più di $sqrt(5)$ da $75$?

applicando pedissequamente Cebicev otterresti

$P{|bar(X)-75|<sqrt(5)}>=1-25/(n*5)>=0.99 rarr n>=500$

che è molto grande....vale la pena di usare il TLC e vedere che succede:

Applico la formula del TLC ma dividento sopra e sotto per $n$, quindi così:

$P{|bar(X)-75|<sqrt(5)}=P{|Z|<sqrt(5)/5 sqrt(n)}>=0.99$

$sqrt(n)/sqrt(5)>=2.58 rarr n>=34$

che è un po' meglio di 500....Ovviamente alcune cose ti sembreranno strane ma ti si chiariranno a breve....prova a pensare come potresti risovere un esercizio del genere:

Lanciamo 10 dadi e calcoliamo la probabilità che la somma dei punteggi sia $S>30$...con il TLC è semplicissimo, senza diventerebbe un calcolo arduo (molto arduo)