Dall'esperienza passata, un docente sa che se si sceglie uno studente a caso, il suo punteggio all'esame di fine corso sarà una v. a. di media $mu=75$.
$a)$ Dai un limite superiore alla probabilità che un punteggio superi gli $85$ punti.
Supponiamo che la varianza sia pari a $sigma^2=25$
$b)$ Cosa si può dire sulla probabilità che uno studente ottenga un punteggio compreso tra $65$ e $85$?
$c)$ Quanti studenti devono sostenere l'esame affinché vi sia una probabilità almeno di $0.9$ che la media dei punteggi della sessione non disti più di $5$ da $75$?
$a)$ Allora, per Markov
$P(X>=a)<=mu/a, AAa>0$
si ha
$P(X>=85)<=75/85=15/17$
$b)$ Per Chebyshev
$P(|X-mu|>=r)<=sigma^2/r^2$
si ha
$P(65<=X<=85)=P(|X-75|<=10)=$
$=1-P(|X-75|>10)=$
$<=1-25/100=75%$
$<=1-25/100=75%$
$c)$ Per la legge debole dei grandi numeri Sempre per Chebyshev
$P(|(X_1+...+X_n)/(n)-mu|>epsilon)<=sigma^2/(n*epsilon^2)$
quindi si ha
$P(|(X_1+...+X_n)/(n)-75|<=5)=1-P(|(X_1+...+X_n)/(n)-75|>5)=$
$<=1-25/(n*25)$
$=1-1/n>=9/10$
$=n>=10$
$=1-1/n>=9/10$
$=n>=10$
È tutto giusto?