Pesci nel lago

[Giova411]

Si vuole determinare il numero di pesci presenti in un lago. Si procede estraendo un campione di 100 pesci che vengono marchiati e rigettati nel lago. Poi se ne pescano altri 100. Determinare il valore $X$ del numero totale di pesci che rende massima la probabilità che nel secondo campione siano $x$ i pesci marchiati presenti.

Ok, già il fatto di trovare il numero tot che rende massima la prob... Mi mette in paranoia!

Dopo il marchiamento del primo campione $n=100$ abbiamo i pesci marchiati $n$ e quelli non marchiati $b$.
Dopo la seconda estrazione (sempre di altri 100) sappiamo che $b>= n-x$; dove $n$ è il numero di pesci pescati alla seconda estrazione e $x$ il numero di pesci marchiati in precedenza.

Usando la distr. ipergeometrica:

$((n),(x))((b),(n-x))$/$((n+b),(n)) $ che diventa ==> $x! ((n),(x))^2 ((b!)^2)/((b-n+x)!(b+n)!)$

Adesso come vado avanti per trovare $b$ tale da massimizzare la prob cercata?

[codino75]

io la butterei giu' mooooooooolto piu' semplice e, forse , piu' rozza e meno formale.
alla seconda estrazione nel lago ci sono 100 pesci marchiati ed un certo numero (chiamiamoli pescipuliti) di pesci non marchiati.
poiche' tirando fuori 100 pesci a caso, peschero' pesci marcati e non marcati in un numero che devo stimare per forza proporzionale alla rispettiva presenza nel lago, avro' che il numero di pesci nel lago che rende massima la probabilit' di pescare x pesci marchiati su 100 pescati sara':

pescitotali= (100/x ) * 100

spero utile....e spero chiaro

[Cheguevilla]

Giova, la tua idea è formalmente corretta.
Il mio suggerimento è di approssimare il tutto con la normale, dato che il numero di elementi è grande.

[Giova411]

Ok raga. Fin lì ci sono.
La normale non l'ho ancora studiata. Ma penso di farla a breve. Pensavo di andare avanti con l'ipergeometrica e trovare una formula che indichi il numero cercato.

Il fatto di semplificare le cose, come mi consiglia Codino75, non l'ho capito tanto, ma il mio obiettivo attuale rimane quello di interpretare il testo ed applicare la cosa esatta, quindi anche di semplificare le cose!
Seppur formali i passaggi per arrivare fin lì, li ho capiti... Ma non spicco il volo ancora.
Sti cacchio di problemi sono distruttivi. Per voi son semplici ma a me mi fanno in******** proprio.

(la parola cercata é INCAVOLARE...)

[codino75]

non so se il mio approccio intuitivo ti possa aiutare, cmq provo a spiegartelo.
supponi che alla seconda estrazione peschi 50 pesci marchiati e 50 pesci non marchiati.
e' chiaro che il numero iniziale di pesci che massimizza la probabilita' che questo accada e' di 200 pesci totali.
spero chiaro.
ciao

[Giova411]

Il testo mi dice: per $n=100$ e $x=4$ si ottiene $b=2400$ quindi la stima sul numero presenti nel lago è pari a $2500$ C'é da strapparsi i capelli per quanto mi riguarda...


Quindi io cerco la formuletta che verifichi questi numeri...

[Piera]

per $n=100$ e $x=4$
$P_b=4! ((100),(4))^2 ((b!)^2)/((b-100+4)!(b+100)!)$
come già è stato scritto.
In casi come questo (fidati!) il valore massimo di $b$ si ottiene risolvendo
$max_b (P_b/P_(b-1)>=1)$.
Essendo $P_b/P_(b-1)=b^2/((b-96)(b+100))$,
il massimo valore di $b$ per cui $P_b/P_(b-1)>=1$ si ottiene risolvendo la disequazione
$b^2/((b-96)(b+100))>=1$, ovvero $b^2>=(b-96)(b+100)=>b<=2400$. Quindi il massimo sarà 2400.
Siccome all'inizio sono stati marchiati 100 pesci, possiamo dire che la stima sul numero totale di pesci presenti nel lago è pari a 2500.

[Cmax]

Un modo elementare consiste nell'approssimare la probabilità di pescare un pesce marchiato con $p=\frac{100}{N}$, dove $N$ è la popolazione complessiva. Con qualche ipotesi ragionevole per il problema (omogeneità, etc.) la probabilità che un pesce marchiato appartenga ad entrambi i campioni di 100 esemplari è $p^2$. Se il secondo campione contiene $4$ pesci marchiati, allora la probabilità che un pesce marchiato appartenga al secondo campione è $\frac{4}{N}$. Si ha quindi $\frac{100^2}{N^2}=\frac{4}{N}$, da cui $N=\frac{100^2}{4}=2500$. Esposizioni in questi termini si possono trovare in Steinhaus, Cento problemi di matematica elementare, Boringhieri 1987, (proprio il problema dei pesci in un lago) e, se ricordo, Barrow, Impossibilità, Rizzoli 1999 (applicato al caso della correzione di una tesi da parte di due relatori).

[Giova411]

In casi come questo (fidati!) il valore massimo di $b$ si ottiene risolvendo
$max_b (P_b/P_(b-1)>=1)$.
Essendo $P_b/P_(b-1)=b^2/((b-96)(b+100))$,
il massimo valore di $b$ per cui $P_b/P_(b-1)>=1$ si ottiene risolvendo la disequazione
$b^2/((b-96)(b+100))>=1$, ovvero $b^2>=(b-96)(b+100)=>b<=2400$. Quindi il massimo sarà 2400.
Siccome all'inizio sono stati marchiati 100 pesci, possiamo dire che la stima sul numero totale di pesci presenti nel lago è pari a 2500.

OK! Certo che mi fido! Era quello che volevo fare... Ma solo a parole... Ci sono, ma non sapevo dell'esistenza di questa formula per avere il valore max: $max_b (P_b/P_(b-1)>=1)$.

Mitica Piera!

Esposizioni in questi termini si possono trovare in Steinhaus, Cento problemi di matematica elementare, Boringhieri 1987, (proprio il problema dei pesci in un lago) e, se ricordo, Barrow, Impossibilità, Rizzoli 1999 (applicato al caso della correzione di una tesi da parte di due relatori).

Non li ho purtroppo. Ho degli esercizi proposti dal prof.

Grazie a tutti!!!

[ottusangolo]

Carino il problema e brava come sempre Piera !
La cosa buffa è che mio nipote, che fa la seconda media ed è un po' troppo presuntuosetto , ha preteso di risolverlo. Letto il testo è rimasto (ovviamente) perplesso e dopo un po' spazientito ha risposto che il metodo non funziona : non si può sapere quanti pesci ci sono nel lago ma si può solo dire che sono almeno 196, visto che i pesci macchiati si potrebbero lasciar pescare più o meno facilmente dei pesci non macchiati e comunque è facile essere stati sfortunati e 4 potrebbero essere troppo pochi o troppi per sapere quanti pesci ci sono.
Al che ho risposto che non aveva capito il testo;Più fortunati non si poteva essere perchè 4 è proprio il numero giusto che permette di calcolare " esattamente" i pesci del lago.
Ah! Ma allora non è difficile,ha risposto, 4:100 = 100:X quindi X=2500
QUANDO SI DICE LA FORTUNA DEI PRINCIPIANTI!