Classico problema del compleanno

[Giova411]

Prob che tra n persone scelte a caso almeno 2 festeggiano il compleanno lo stesso giorno.

Immaginiamo di mettere n oggetti in r scatole.

Allora n sono le persone. r i giorni. Allora tutti modi possibili sono $365^n$ ok ci sono.

Poi siccome voglio trovare una corrispondenza iniettiva (biunivoca) applico le disposizioni.

$D_n^365 = (365!) / ((365 - n)!)$ così trovo quando tutti hanno giorni diversi. Quindi per trovare "almeno 2 persone con = compleanno" devo:

$1 - ((365!) / ((365 - n)!))/365^n$ $ = 1 - (365!) / ((365 - n)!*365^n)$

Fin qui chiaro anche se il libro da l'ultima riga con i numerelli senza spiegare nulla.
Ma poi mi dice di botto che la prob cercata è $n=23$ perché la prob $ = 0.507$. Ok ci credo ma perché?????????
Sarà che non so lavorare bene con i fattoriali... Ma da qui come mi muovo?

$1 - (365!) / ((365 - n)!*365^n)$

[Giova411]

Ho capito (diciamo... ) come si risolve. Magari può servire a qualcuno...

Ciò che ho scritto si può vedere così:

$(1-1/365)(1-2/365) *... * (1-(n-1)/365)$ e così ottengo tutte le n date diverse

Ora vogliamo sapere la probab $p$ di avere date di nascita diverse < 1/2 per capire quante persone bisogna prendere in considerazione.

Applicando i ln:

$ln p = ln(1-1/365) + ln(1-2/365) +... + ln(1-(n-1)/365)$ $= -((1+2+..+(n-1))/365) - 1/2((1^2+2^2+...+(n-1)^2)/(365^2))-...$ grazie al fatto che $ln(1-x) = -x-x^2/2 -x^3/3 - ... $

Ciò che abbiamo può essere ridotto a:
$ln p = -(n(n-1))/(365*2) - (n(n-1)(2n-1))/(12(365)^2) - ...$

perchè $1+2+..+(n-1)=(n(n-1))/2 $ e poi $1^2+2^2+...+(n-1)^2= (n(n-1)(2n-1))/6$

Questa parte $ (n(n-1)(2n-1))/(12(365)^2)$ non ha rilevenza per un n "piccolo" quindi approssimiamo a:

$ln p = -(n(n-1))/(365*2)$ sostituiamo $p = 1/2$ e si ha: $ln p = - ln2 = -0.693$ quindi $ 0,693= (n(n-1))/(365*2)$

$n^2-n-506= 0 $ => $ n=23$.
Dovrebbe significare che se n > 23 si ha più del 50 % delle prob che almeno 2 persone siano nate lo stesso giorno. Ad es: se abbiamo 50 persone la probabilità che 2 siano nate lo stesso giorno sale al 97% circa. Strano ma vero.

[|cri]

Non credo di aver capito esattamente il problema...
La probabilità che almeno $2$ persone su $n$ siano nate nello stesso giorno è quella che hai calcolato tu, ovvero
$1 - (365!) / ((365 - n)!*365^n)$
(anche se io ci sono arrivata con un procedimento leggermente di verso)
Ovviamente questa probabilità dipende da $n$, in quanto più persone si prendono e più è alta la probabilità di averne due nate lo stesso giorno.

Se però si decide (arbitrariamente?) di prendere $n=23$, sostituendo si ottiene che la probabilità è $0,507$ (facendo i calcoli con una calcolatrice io ho ottenuto $0,493$, immagino che la differenza sia dovuta ad errori di approssimazione)
Quello che non mi è chiaro personalmente è quel $n=23$, così di punto in bianco.

[|cri]

Beh, hai risposto alla mia domanda mentre la scrivevo...
Grazie, ora è tutto chiaro!