Scrivo tutto l'esercizio....
Calcolare la funzione generatrice di momenti $M_x(t)$ per la variabile $x$ i cui valori sono compresi nell'intervallo $0-2$ e la cui densità di probabilità vale $f(x) = A x (2-x)$. Utiliazzando la $M_x(t)$ determinare media e varianza.
Ecco come ho svolto:
- Trovo A
$A: A*int_0^2 x(2-x)dx = 1$
$A*[x^2*1/3x^3]_0^2 = 1
$4/3A = 1$ da cui $A = 3/4$ quindi $f(x) = 3/4x(2-x)$
- Calcolo la $M_x(t)$
$3/4int_0^2 x(2-x)e^(tx)dx = $
$3/4[2(1/txe^(tx)-1/t^2e^(tx))-(1/tx^2e^(tx) - 2/t^2xe^(tx) + 2/t^3 e^(tx))]_0^2 = $
$2/t^2e^(2t)-2/t^3e^(2t)+2/(t^2)+2/(t^3)$
Ora per calcolare la media dovrei derivare $M_x(t)$ e porre $t = 0$
Quindi
- derivo $M_x(t)$
$M'_x(t) =
4t)/t^4e^(2t) +4/t^2e^(2t)] - [ -(6t^2)/t^6e^(2t) + 4/t^3e^(2t)] - 4/t^3 - (6t^3)/t^6$
Ora dovrei porre t = 0... ma non posso.... che faccio??