stimatori+ approfondimento

[tommik]

Salve ho svolto questo esercizio e vorrei sapere se è corretto. Grazie in anticipo.
Sia X ∼ P oiss (θ ) e sia (X1 , X2, X3) campione bernoulliano estratto da X. Dati gli stimatori per θ:

$ T1 = 2X1 + X2 − X3 $ ; $ T2 = 2X1 − 2X2 + 2X3 $

a. Sono non distorti?

$ E[ T1 ]=2E[ X1 ]+E[ X2 ]-E[ X3 ]=Θ+Θ-Θ=Θ $ T1 è non distorto

$ E[ T2 ]= 2E[ X1 ]-2E[ X2 ]+2E[ X3 ]= Θ-Θ+Θ=Θ $ T2 è non distorto

b. Si può stabilire quale dei due è più efficiente?

$ V[ T1 ]=(2)^2VX1+(1)^2VX2+(-1)^2VX3=6 $

$ V[ T2 ]=(2)^2VX1+(-2)^2VX2+(2)^2VX3=12 $

Siccome $ V[ T1 ]<V[ T2 ] $ si può affermare che il più efficiente è T1

[tommik]

No, il procedimento è sbagliato anche se la conclusione è corretta.
Media e varianza di ogni $X_i$ sono entrambe $theta$

Gli stimatori $T_1$ e $T_2$ sono entrambi distorti per $theta$ e la loro varianza non può essere indipendente dal parametro $theta$

Ps: hai fatto $+-$ gli stessi errori dell'altra volta...prova a rifare i conti guardando anche la mia spiegazione al tuo precedente topic sugli stimatori

APPROFONDIMENTO: osservazioni critiche sull'impostazione della stima classica

Una volta rifatti i conti e stabilito che $MSE_theta[T_1]<MSE_theta[T_2] AA theta>0$, secondo la Statistica classica concludiamo che $T_1$ è sempre preferibile a $T_2$ MA, supponiamo ex post di aver osservato i seguenti dati

$(x_1,x_2,x_3)=(2,3,2)$ e quindi $T_1=5$; $T_2=2$.

Calcoliamo l'errore in funzione di $theta$ dopo aver osservato il risultato sperimentale

$(theta-T_1)^2=(theta-5)^2$

$(theta-T_2)^2=(theta-2)^2$

Graficamente:




come si vede bene, al variare del vero parametro $theta$ non è affatto vero che $T_1$ sia sempre preferibile a $T_2$ ma anzi, per $theta<3.5$ è meglio $T_2$

Ciò in quanto il criterio proposto dalla Statistica classica confronta la media degli errori indipendentemente dal dato sperimentale a disposizione; per ovviare a tale limite è necessario ragionare in termini di Statistica Bayesiana....

buona lettura a tutti gli interessati