Distribuzione uniforme nella sfera

[giovrossi]

Ciao ragazzi non sto riuscendo a capire la soluzione del prof a questo problema, vi sarei molto grato se qualcuno riuscisse a spiegarmela per bene passo per passo.

PROBLEMA:
Sia \(\displaystyle (X; Y;Z) \) distribuito uniformemente nella sfera di centro \(\displaystyle 0 \) e
raggio \(\displaystyle 1 \). Calcolare la distribuzione di \(\displaystyle Z \). E ' maggiore la probabilita' che \(\displaystyle Z \)
sia tra \(\displaystyle 0 \) e un quarto o tra tre quarti e uno?

SOLUZIONE DEL PROF:
La densita' \(\displaystyle f(x; y; z) \)del vettore \(\displaystyle (X; Y;Z) \) e' pari alla funzione indi-
catrice della sfera divisa per \(\displaystyle \frac{4}{3}\pi \). La densita' di \(\displaystyle Z \), sia essa \(\displaystyle h \), e' data
\(\displaystyle h(t) = \int_{R^2}^{} f(x , y , t) \, dx dy = \frac{3}{4\pi} \int_{\{x^2+y^2 \leq 1-t^2\}}^{} \, dx dy = \frac{3}{4}(1-t^2) \)
se \(\displaystyle -1 \leq t \leq 1 \) e zero altrimenti.
Sicome la densita' e' decrescente per \(\displaystyle t \geq 0 \) la prima probabilita' e' maggiore della seconda.

[tommik]

1) la distribuzione è uniforme e quindi la densità congiunta $f_(XYZ)(x,y,z)$ è il reciproco del volume della sfera.

2) per calcolare la densità marginale di z basta integrare le altre due variabili su tutto il dominio... in pratica è come integrare su tutto il cerchio $x^2+y^2<=1-z^2$

Passi in polari ottenendo

$f_Z(z)=3/(4pi)int_0^(2pi)d theta int_0^(sqrt(1-z^2))rho d rho=3/4 (1-z^2)$

$-1<=z<=1$

Come vedi dal grafico è evidente che $A>B$




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Ciao

[giovrossi]

Grazie mille