da Piera » 15/05/2007, 23:21
Ecco come lo farei.
$k$ varia da 1 a 49.
Il primo asso esce alla $k$-esima estrazione con probabilità
$p_k=(((48),(k-1)))/(((52),(k-1)))*4/(52-(k-1))=4*(48!)/(52!)*((52-k)!)/((49-k)!)$
Infatti l'evento si verifica se nelle prime $k-1$ estrazioni non esce l'asso e questo si verifica con probabilità $(((48),(k-1)))/(((52),(k-1)))$, e poi alla k-esima estrazione esce l'asso, il quale può essere scelto in 4 modi mentre i casi possibili sono $52-(k-1)$.
$p_k/p_(k-1)=(50-k)/(53-k)>=1$ se
$50-k>=53-k$ impossibile.
Da questo segue che $p_k/p_(k-1)<1$ per ogni $k$, Ovvero $p_2<p_1$, $p_3<p_2$, e cosi' via. Dunque tutte la probabilità sono minori di $p_1=>$ per $k=1$ si ha il massimo.
Se nella formula da me indicata in altro post non c'è il massimo (come accade in questo caso) allora si deve prendere il primo valore che $k$ assume.
Se invece in un altro esercizio si verificasse una situazione del tipo $k<=13,1$, essendo $k$ intero, si deve prendere l'intero minore più vicino a 13,1, cioè 13.
Se invece si usa $p_k/p_(k+1)>=1$ si deve prendere il minimo valore di $k$ per cui la disuguaglianza precedente è soddisfatta: $(52-k)/(49-k)>=1 => 52-k>=49-k$ vera per ogni $k$. Per $k=1$ si ha il massimo.
Vediamo se riesco a spiegarti il primo passaggio che non hai capito. $P(T<=k)$, cioè la funzione di ripartizione di T, è fatta a gradini dato che la variabile è discreta. Pertanto la probabilità in un punto è data dal salto della funzione di ripartizione in quel punto:
$P(T=k)=P(T<=k)-P(T<=k-1)=1-P(T>k)-(1-P(T>k-1))=P(T>k-1)-P(T>k)$.
Buonanotte!!