Variabili aleatorie discrete con tempo di attesa. Esempio.

Messaggioda Giova411 » 15/05/2007, 22:49

Le carte di un mazzo vengono girate ad una ad una. Qual è la prob che il primo asso appaia alla k-esima carta? Qual è il valore di k più probabile?

---
T: numero di carte necessario per avere il primo asso

$P{T>k} = ( ((4),(0)) ((48),(k)))/( ((52),(k)) )$

$p_k= P{T=k}=P{T>k-1}-P{T>k}= $ (*? 1 ?*)
$ p_k=(48!)/(52!) (( (52-k+1)! )/ ( ( 48 - k + 1 )! ) - ((52-k)!)/((48-k)!) )$

dopo qualche calcolo facile

$p_k = 4 * (48!)/(52!) * ((52-k)!)/ ((48-k+1)!)$

Per vedere per quali valori di $k$, $p_k$ è massima basta osservare che per ogni valore di $k$ si ha

$(p_k) / (p_(k+1) )= $ $(52-k)/(49-k)>=1$ (*? 2 ?*)
$(52-k)/(49-k)>=1$

Qui il libro dice che la prob è massima per $k=1$ (*? 3 ?*)
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Messaggioda Giova411 » 15/05/2007, 22:56

Miei cari maghi della matematica vi chiedo:

(*? 1 ?*)
Perché viene travata questa legge? Come dovrei capirlo?

(*? 2 ?*)
Perché questa regola? C'é il $k+1$ che mi mette in difficoltà. Una volta Piera (nel suo primo intervento) QUI
mi aveva dato la formula con $k-1$. Come devo ragionare con questi indici?

(*? 3 ?*)
Non capisco perché $k=1$. Dalla disuguaglianza non arrivo a questa conclusione.

Sono alle prime armi, aiutatemi. GRAZIE ! ! !
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Messaggioda amel » 15/05/2007, 23:05

Giova411 ha scritto:(*? 3 ?*)
Non capisco perché $k=1$. Dalla disuguaglianza non arrivo a questa conclusione.


Ho capito (solo questo però, dovrei concentrarmi di più per il resto :( ...). Se $p_k / p_(k+1) >=1$, allora $p_k >= p_(k+1)$ cioè $p_1>=p_2>=p_3....$ da ciò il fatto che la probabilità è massima per $k=1$

EDIT: Non avevo visto la risposta di ottusangolo alla sezione medie&superiori... :oops:
amel
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Messaggioda Giova411 » 15/05/2007, 23:19

Miiizzica, manco io l'ho vista la sua risp. Mo vado a vedé. Grazie intanto. Ma il resto e come arriva fin lì ancora non me lo spiego, devo farmi le ossa su questi problemi....
Giova411
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Messaggioda Piera » 16/05/2007, 00:21

Ecco come lo farei.
$k$ varia da 1 a 49.
Il primo asso esce alla $k$-esima estrazione con probabilità
$p_k=(((48),(k-1)))/(((52),(k-1)))*4/(52-(k-1))=4*(48!)/(52!)*((52-k)!)/((49-k)!)$
Infatti l'evento si verifica se nelle prime $k-1$ estrazioni non esce l'asso e questo si verifica con probabilità $(((48),(k-1)))/(((52),(k-1)))$, e poi alla k-esima estrazione esce l'asso, il quale può essere scelto in 4 modi mentre i casi possibili sono $52-(k-1)$.
$p_k/p_(k-1)=(50-k)/(53-k)>=1$ se
$50-k>=53-k$ impossibile.
Da questo segue che $p_k/p_(k-1)<1$ per ogni $k$, Ovvero $p_2<p_1$, $p_3<p_2$, e cosi' via. Dunque tutte la probabilità sono minori di $p_1=>$ per $k=1$ si ha il massimo.
Se nella formula da me indicata in altro post non c'è il massimo (come accade in questo caso) allora si deve prendere il primo valore che $k$ assume.
Se invece in un altro esercizio si verificasse una situazione del tipo $k<=13,1$, essendo $k$ intero, si deve prendere l'intero minore più vicino a 13,1, cioè 13.

Se invece si usa $p_k/p_(k+1)>=1$ si deve prendere il minimo valore di $k$ per cui la disuguaglianza precedente è soddisfatta: $(52-k)/(49-k)>=1 => 52-k>=49-k$ vera per ogni $k$. Per $k=1$ si ha il massimo.
Vediamo se riesco a spiegarti il primo passaggio che non hai capito. $P(T<=k)$, cioè la funzione di ripartizione di T, è fatta a gradini dato che la variabile è discreta. Pertanto la probabilità in un punto è data dal salto della funzione di ripartizione in quel punto:
$P(T=k)=P(T<=k)-P(T<=k-1)=1-P(T>k)-(1-P(T>k-1))=P(T>k-1)-P(T>k)$.

Buonanotte!!
Piera
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Messaggioda Giova411 » 16/05/2007, 16:57

Piera sei un fenomeno! Ci sono. GRAZIE!!!!

Anche se ho un piccolo dubbio su:
$P(T=k) = P(T>k-1)-P(T>k)$
Qui voglio sapere $k$ quindi considero tutto ciò che sta a dx di k-1 (detto algebricamente) e a questo tolgo tutto ciò che sta a dx di k. Così ottengo proprio k. Lo capisco facendo una specie di studio che si fa con le disuguaglianze... Non riesco a spiegarmelo in modo diverso. E' un po' rozzo...
Giova411
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