Distribuzione geometrica, assenza di memoria

[Leoddio]

Sulle diapositive del professore mi viene data questa formula per spiegare l'assenza di memoria della densità geometrica $P(X>k+1|X>k)=P(X>1)$ con $k=1,2,...$. Ponendo $q=P(X>1)$ poi viene fatto questo passaggio che non ho proprio capito $1=P(X>1)=[P(X>k+1, X>k)]/[P(X>k)]=[P(X>k+1)]/[P(X>k)]$. Innanzitutto cosa significa quella virgola? Nel caso fosse un errore di battitura e fosse per la formula della probabilità condizionata $[P(X>k+1∩ X>k)]/[P(X>k)]$ non capisco comunque perché questa formula dovrebbe essere uguale a $[P(X>k+1)]/[P(X>k)]$...

[tommik]

La virgola che non capisci significa "intersezione" e si usa comunemente per indicare la probabilità congiunta di più eventi. In pratica ti sta dicendo che

$P(X>k+1|X>k)=(P(X>k+1))/(P(X>k))$ e ciò in quanto, evidentemente, $X>k+1$ è sottoinsieme di $X>k$

Quindi il tuo risultato viene $q^(k+1)/q^k=q=P(X>1)$

Questo perché $P(X>1)=1-P(X=1)=1-p=q$, essendo $P(X=k)=q^(k-1)p$; $k=1,2,...$

Questo fatto evidenzia la proprietà di assenza di memoria¹. La stessa cosa accade con altre distribuzioni, ad esempio l'esponenziale negativa: Con tale distribuzione, calcolare la probabilità che un dato apparecchio duri più di 10 periodi dato che è già durato 8 periodi è uguale alla probabilità che duri più di due periodi.

Ora dovrebbe essere chiaro.....vedo che hai sistemato il messaggio



buona serata

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Note

1. Per i dettagli sulla distribuzione geometrica puoi guardare QUI. Il tuo prof ha usato la versione "di sinistra", quella che conta le prove prima del primo successo...ma esiste anche l'altra versione, quella che ne conta i fallimenti ↑

[Leoddio]

Prima di tutto scusami per l'errore, mi era scappato un maledetto dollaro.

Comunque penso di aver capito il discorso da un punto di vista teorico, se $X>k+1$ è sottoinsieme di $X>k$ allora la loro intersezione è giustamente il sottoinsieme.

Ma da un punto di vista operazionale io come mi dovrei comportare se volessi applicare brutalmente la formula? Non esiste un qualcosa nei conti che sottointenda il fatto che si ha che fare con due insiemi di cui uno è sottoinsieme dell'altro?

Scusa se sono molto vago ma mi sta un po' mancando la terra sotto i piedi...

[Leoddio]

Solo per curiosità, due eventi del genere come si classificano? Non sono né indipendenti né condizionati giusto?

[mattia952]

Ciao a tutti scusate se chiedo ancora riguardo questo argomento ma non mi è molto chiaro.
Cioe capisco tutto il discorso ma non capisco come arrivare al risultato finale.
Sono arrivato al punto che:
P( X > k+1 | X > k ) = P( X > k+1 ) / P( X > k ) = ( 1 - P( X < k+1 ) ) /( 1 - P( X < k ) )
Da qui però non capisco come andare avanti per arrivare al punto che
P( X > k+1 | X > k ) = P( X > k+1 ) = P( X > 1 )
potreste aiutarmi per favore