vettore aleatorio continuo

[gino4ever]

Salve, sto svolgendo il seguente esercizio "Siano X,Y indipendenti e distribuite uniformemente in [0,1]. Calcolare la distribuzione di $ Y* e^x $ ".

Allora ricordandomi delle teoria ho detto che

$ P(Y* e^x <t)= P(y<t*e^-x)= int int_(y<t*e^-x) f(x,y) dx dy $

ed in seguito ho ricavato i valori di t ottenendo t=0, t=1 e t=e.
Allora per t <0 la probabilità è nulla, per t > e la probabilità dovrebbe essere 1 (anche se il prof. ha scritto zero ma mi sembra strano), rimangono i casi intermedi.

Per 0<t<1 ho fatto l'integrale della funzione tra 0 ed 1 ed ho trovato il risultato, mentre per 1<t<e non riesco a ritrovarmi col risultato del professore, ho pensato di impostare l'integrale doppio dato che variano sia la x che la y e ho imposto la y=1 trovando che $ x=log t $ e se faccio lo stesso per la y ottengo che $ y=t/e $; perciò ho detto che

$ int_(t/e)^(1) dy int_(0)^(log t) dx $ ed in seguito ho pensato di sommare il risultato di questo integrale al "pezzo" precedente, però non mi ritrovo col risultato che è $ log t+1-t e^-1 $ .

Potete dirmi cosa ho sbagliato ? Ho sempre difficoltà a determinare gli estremi di questi esercizi che prevedono le intersezioni tra la curva e il quadrato unitario. Grazie

[tommik]

È davvero molto semplice. Sono in giro e scrivo col cellulare quindi non ho la possibilità di mettere un grafico; provo a spiegarmi ugualmente:

Dato che la distribuzione congiunta è costante ed uguale ad 1 ($X$ e $Y$ sono due uniformi indipendenti) non serve l'integrale doppio ma basta calcolare l'area del dominio di integrazione al variare di $t$

Se fai passare la funzione $y<te^(-x)$ nel quadrato unitario, per $1<t<e$ e provi ad integrare l'area risultante vedi che hai un rettangolo di area $logt xx 1$ e poi l'integrale sotto la funzione...

In pratica questo:

$F_T=logt+int_(logt)^(1)te^(-x)dx=logt+1-t *e^(-1)$

Ovviamente $P(T>e)=0$ dato che $F_T(e)=1$ e $P(T>e)=1-P(T<=e)=1-F(e)$


Spero sia chiaro

[gino4ever]

ok adesso esce, grazie ! . Ma sapresti darmi qualche consiglio in generale su come affrontare e calcolare queste probabilità ? (spesso la distribuzione è uniforme, quindi so che la probabilità cercata corrisponde all'area però incontro difficoltà nel vedere le aree)

[tommik]

Guarda sul forum... penso di aver risolto un centinaio di esercizi in proposito....il metodo è sempre lo stesso ed hai sicuramente capito come fare; se non riesci è solo questione di pratica.

Guarda ad esempio QUESTO che carino..

[gino4ever]

ok, spero di prendere la mano. Grazie