Vettore aleatorio continuo

[yankarinRG]

Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con densita congiunta
$f(x,y)={{:(kxy,xy in [0,2] times [0,3]),(0,text{altrove}):}$
Calcolare il valore di $k$ e stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti. Calcolare le $P(A|B)$ con $A = {0 < X <
1/2}$ e $B = {0 < Y < 2}$

Calcoliamo $k$ come $\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dxdy = 1$
$int_{0}^{3}\int_{0}^{2}kxy = 1$
$9k = 1$
$k = 1/9$

A questo punto, per verificare che $X$ e $Y$ sono indipendenti, calcoliamo le densità marginali:
$f(x)=int_(0)^(3)1/9xydy=1/2x$
$f(y)=int_(0)^(2)1/9xydx=2/9y$
Essendo $f(x)f(y)=f(x,y)$, $X$ e $Y$ sono (stocasticamente) indipendeti.

Adesso viene il dubbio. Come calcolo $P(A|B)$?

[tommik]

per la probabilità condizionata basta davvero poco: utilizzare la definizione.

$P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))$

Con un grafico del problema tutto risulterà immediato



di soluzione pressoché immediata:

$(1/9 int_(0)^(1/2)xdxint_(0)^(2)ydy)/(2/9 int_(0)^(2)ydy)=1/2 int_(0)^(1/2)xdx=1/2*1/8=1/16$

[yankarinRG]

Grazie mille @tommik per la celere risposta!
La formula $P(A|B)=(P(A nn B))/(P(B))$ è utilizzabile sia per variabili indipendenti che dipendenti? Ci sono particolari "attenzioni" che devo fare?

Curiosità: se fosse stato "Calcolare $P(A|Y=1/2)$, in quanto $P(X=x)=0$, sarebbe stato $(int_(0)^(1/2)int_(1/2)^(1/2)1/9xydydx)/(int_(1/2)^(1/2)1/9ydy)=?$

[tommik]

La formula della probabilità condizionata è valida sempre.

La probabilità $P(A|Y=1/2)$ invece non è definita in quanto $P(Y=1/2)=0$

La variabile è continua e quindi a misura nulla in ogni punto

[yankarinRG]

Perfetto, tutto chiaro adesso.
Ti ringrazio ancora @tommik per il tuo prezioso aiuto!