Riguardo la definizione di Probabilità Condizionata

[luca66]

Assolutamente io ho piacere che tu come qualsiasi altra persona in questo forum possa rispondere ai miei messaggi, mi scuso in più per l'atteggiamento. Vomunqje Non mi era piaciuta solo questa modalità di risposta. Sicuramente ho sbagliato io entrambi gli esercizi, però comunque penso che se affermo di aver capito qualcosa e quindi di conseguenza mi serviva un'altra delucidazione, non vedo il motivo per il quale dovete dubitare ciò che dico di aver capito. Di certo non voglio prendere in giro nessuno né tantomeno me stesso, so benissimo autocriticarmi fortunatamente :")

[luca66]

Tommik spero si chiarisca questa situazione totalmente indesiderata da me. Sono stato troppo superficiale nell'analizzare il problema, ho sbagliato sicuramente io.

Sto anche provando a scriverti un messaggio privato, ma mi dice che non esisti..

[axpgn]

Perché tommik è un'entità superiore ...

[tommik]

Faccenda chiarita....ad ogni modo l'esercizio che ho proposto secondo me è molto interessante, originale ed istruttivo...se qualcuno ha voglia di farlo...

[luca66]

Chiedo scusa ai lettori per questa situazione.

se qualcuno ha voglia di farlo

Appena avrò le competenze per farlo, ne terrò conto!

[gio73]

Ciao Luca
non ho preso in giro
ho davvero difficoltà con questo argomento

[luca66]

Mi scuso anche con te gio, scusa anche se ho risposto in modo sbagliato al tuo quesito. Più tardi gli darò un occhiata così capiro anche io dove ho sbagliato!

[luca66]

Ho riletto ora il testo, ho toppato alla grande. Non ha senso quello che ho scritto. Non è per fare oramai la parte, ma effettivamente è cosi.

[tommik]

...scusa anche se ho risposto in modo sbagliato al tuo quesito.

adesso non esagerare....non vi è assolutamente nulla di male nello sbagliare....anzi, a volte è proprio sbagliando che ci si confronta e si comprendono meglio determinati meccanismi.

Ora, dato che il problema si ripropone ciclicamente, vediamo di fare un po' di chiarezza sul tema. A tal proposito riscrivo l'esercizio proposto da @gio73 rendendolo più aderente alla realtà di questi test diagnostici.

Definiamo prima di tutto alcune quantità che si usano spesso in epidemiologia

1) Prevalenza: è la percentuale di morbosità: una stima della percentuale dei malati

2) Sensibilità del test: è la probabilità che un malato risulti positivo al test: $P[T^+|M]$

3) Specificità del test: è la probabilità che un individuo sano risulti negativo al test: $P[T^-|S]$

4) Valore Predittivo Positivo: è la probabilità di essere effettivamente malato dato che ho avuto un test positivo: $VPP=P[M|T^+]$

Ovviamente un buon test è un test per il quale Sensibilità e Specificità sono molto elevati.

Ora riscriviamo l'esercizio in maniera più standard, per renderlo più elastico:

La prevalenza di una certa malattia nella popolazione è dell'1 per 1000. Per diagnosticare la malattia si usa un test diagnostico con i seguenti parametri: Sensibilità 96% e Specificità 94%
Tizio si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità che sia davvero malato?

Per risolvere il problema è di utilità fondamentale conoscere il teorema di bayes ma, dato che la questione, almeno all'inizio, può generare problemi, suggerisco di procedere nel seguente modo:

Costruiamo una tabella (che in realtà è la distribuzione bivariata discreta) con i valori assoluti, prendendo cioè una popolazione di N individui....nel caso in esame ho considerato la popolazione composta da 100 mila persone che si sottopongono al test.

con i dati del problema otteniamo la seguente distribuzione (suddivisione) di tutta la popolazione:




Come si costruisce la tabella:


molto semplicemente, si parte dal totale della popolazione (numero in basso a destra) e si calcola la prevalenza:

$100.000 xx 0.001=100$, l'altro valore per differenza.

Ora veniamo al "corpo" della tabella:

- numero di individuidi malati e contemporaneamente positivi al test: $0.96xx100=96$....il valore sotto, 4, per differenza

- numero di individui sani e contemporaneamente negativi al test: $0.94xx 99.900=93.906$...il valore sopra, 5.994, per differenza.

I totali, che rappresentano le distribuzioni delle variabili marginali, sono la somma per riga e per colonna dei dati della tabella.

Fatta la tabella abbiamo risolto tutto perché ora, con tutta la distribuzione, possiamo rispondere a qualsivoglia domanda. Es: qual è la probabilità di essere davvero malati se il test è risultato positivo.....basta fare : numero di individui Malati&Positivi diviso il totale dei positivi: $96/(6.090)=1.6%$

Questo risultato, apparentemente eclatante, sta ad indicare che, per avere una certa "credibilità" non basta che il suddetto test sia molto affidabile (come in questo caso) ma è necessario che venga applicato ad una popolazione con una prevalenza elevata della malattia....infatti supponiamo ora di avere il medesimo test fatto ad una popolazione con una prevalenza del 40% ed otteniamo subito:



Con il medesimo test, qui il VPP è del 91%.

Ovviamente, per avere un VPP alto anche nel primo caso, la soluzione è fare più test. Il valore predittivo positivo si calcola nel medesimo modo, tenendo presente che i test sono fra loro indipendenti e si ottiene subito (supponendo che tutti i test diano esito positivo):

$VPP=(0.96^n xx100)/(0.96^n xx100+0.06^n xx 99.900)={1.6%;20.4%;80.4%;98.5%}_(n=1,2,3,4)$


Nell'esercizio proposto da @gio73 il tutto è estremizzato: il test è molto affidabile, avendo Sensibilità e Specificità pari al 99% ma la prevalenza di 1 a 100.000 lo rende del tutto inutilizzabile, dato che fornisce un $VPP~~0$

...Facile come bere un bicchiere .... di Guinness

(spero di aver chiarito meglio il problema a tutti gli interessati)

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Questo invece:

Sia $Y$ la variabile casuale che rappresenta il diametro di un perno e $X$ la variabile casuale che rappresenta il diametro interno della sede dove il perno deve essere inserito. Come da disegno tecnico, il perno dovrebbe avere un diametro di $9.95 mm$ mentre la sede un diametro di $10.00 mm$. Per motivi legati al processo di produzione entrambi gli oggetti non sono perfetti ma hanno una certa tolleranza. Supponiamo quindi che di fatto $Y~ U(9.85;10.05)$ mentre $X~ U(9.90;10.10)$ e supponiamo inotre che il perno possa essere correttamente inserito e funzionare bene solo se $X-0.1<Y<X$.
Posto che le variabili $X$ e $Y$ sono indipendenti qual è la probabilità che il perno sia correttamente accoppiato con la sua sede?

ricordando la generalizzazione del denominatore del teorema di bayes

$p(x)=int_(theta in Theta)pi(theta)p(x|theta)d theta$

dopo qualche conto....otteniamo


$P[X-0.1<Y<X]=int_(9.90)^(9.95)25(x-9.85)dx+int_(9.95)^(10.05)5/2dx+int_(10.05)^(10.10)25(10.15-x)dx=...=7/16$

Per ragioni che si capiranno una volta fatte le trasformazioni vettoriali di variabili aleatorie, il problema ha anche una interessante interpretazione geometrica



per cui la probabilità richiesta è pari all'area grigia (che a dispetto del disegno è un esagono simmetrico rispetto alla bisettrice) per la densità congiunta di $X,Y$ ovvero

$P[X-0.1<Y<X]=25[0.2^2-0.15^2]=7/16$