Esercizi (con procedimento) sul Teorema Centrale del Limite

[JustDani95]

1) Nel 1994 il 14.9% della forza lavoro era iscritta a qualche sindacato. Se in quell'anno si fossero scelti a caso 5 lavoratori, quale sarebbe stata la probabilità che nessuno di essi avesse un sindacato?

Io mi sono calcolato la media e la varianza:
$E(X) = 0.149$ x $5 = 0.745$
$V(X) = sqrt(5\cdot 0.149\cdot 0.851) $
$P(X>0.149)=P((X-E(X))/(sqrt(V(X)))>(0.149-0.745)/(0.796))$ e quindi ho $ 1-[1-Phi (0.75)]=0.7734 $
E' giusto? Mi sono basato su un esercizio esempio trovato sempre sul Ross (anche l'esercizio è del Ross).


2) Il 52% dei residenti in una città è favorevole all'insegnamento dell'evoluzione a scuola. Si seleziona da questa popolazione un campione casuale di dimensione $n$. Determina la probabilità che almeno il 50% del campione sia favorevole per $n$=10 , $n$=100 , $n$=1000 , $n$=10000.
Io vi posto solo il procedimento per $n$=10, tanto gli altri sono uguali.

Ho fatto in questo modo:
$X$ ha distribuzione Binomiale che posso approssimare ad una Normale. E viene $N(10\cdot0.52 , (1-0.52)\cdot0.52\cdot10$
Applico il Teorema in questo modo: $ P(X>5.5)=P(Z>(5.5-5.2)/(sqrt(2.5)))=P(Z>0.18)=Phi(0.18)=0.5714 $
Ho scritto 5.5 perché il 50% del campione (in questo caso è 10) è 5, in più ho applicato la correzione di continuità.
E' giusto?

[tommik]

Entrambi sbagliati, mi spiace.

1) è una semplice distribuzione binomiale¹

$P[X=0]=0.851^5$

2) hai applicato il fattore di correzione in modo errato

$P(X>=5)~~P(X>4.5)$

In questo caso, con $n=10$ puoi anche usare la binomiale, trovando il valore esatto e così ti rendi conto di aver applicato male il fattore di correzione.

Se invece la domanda fosse stata:" probabilità che più del 50% ecc ecc ..." allora l'impostazione sarebbe stata giusta ma i calcoli sono comunque errati:

- verrebbe $P(Z>0.19)$

- $P(Z>0.18)$ non è $Phi(0.18)$ ma è $1-Phi(0.18)$

Per favore, un topic ogni esercizio, grazie

Ps: su come applicare correttamente il fattore di correzione per approssimare una distribuzione discreta con una continua ci sono centinaia di esempi con spiegazioni dettagliate qui sul forum, basta cercare

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Note

1. l'esempio del Ross magari è diverso, postalo che vediamo ↑

[JustDani95]

Ti ringrazio per la risposta. Sono i primi esercizi che faccio, più che altro vorrei imparare a ragionare per bene.
Ho creato una sola discussione per non intasare il forum . Gli esercizi sono tutti presi dal Ross.

Per quanto riguarda il primo, avevo ripreso l’esempio del “campionamento da insiemi finiti” che recita:
Supponiamo che alle elezioni il 45% della popolazione favorisca un candidato. Si seleziona un campione di 200 persone. Si trovi la probabilità che essi siano più della metà degli intervistati.

Per quanto riguarda il secondo ti ringrazio per avermi chiarito la correzione di continuità.
E purtroppo ancora mi “impiccio” con $ Phi $: non riesco a capire quando devo mettere l’1.

[JustDani95]

Ho letto ora il PS: per il fattore di correzione mi è bastata la tua spiegazione che è stata chiarissima.

Per il primo esercizio che ho postato non ho ragionato: essendo nel capitolo 6 del libro non pensavo che bastasse calcolare semplicemente la binomiale.

Ti ringrazio moltissimo!