$f(x,y)={(kx^2 y,,0≤x≤y≤1),(0,,text(altrove)):}$
- Determinare $k$
- Determinare le funzioni di ripartizione $F_X$ e $F_Y$
- Calcolare previsione $m_Z$ e varianza $σ_Z^2$ con $Z = X - Y$
Innanzitutto esprimerei il dominio in forma normale rispetto all'asse delle x:
$D={(x,y) in RR^2 : 0≤x≤1, x≤y≤1}$
ottenendo il triangolo in figura:
- Per determinare $k$, poniamo$\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dxdy = 1$ ovvero $\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}kx^2 ydydx = 1$
Con qualche semplice calcolo si ottiene $k/15 = 1$ e quindi $k = 15$
La funzione di densità diventa:
$f(x,y)={(15x^2 y,,0≤x≤y≤1),(0,,text(altrove)):}$ - Per ottenere $F_X$ e $F_Y$ calcolerei prima $f_X$ e $f_Y$:
- $f_x (x) = \int_{x}^{1}15x^2 ydy = -(15x^4)/2 + (15x^2)/2 text( ) 0≤x≤1$
- $f_y (y) = \int_{0}^{y}15x^2 ydx = 5y^4 text( ) 0≤y≤1$
- $F_X (x)={(0,,x<0),(\int_{0}^{x}-(15t^4)/2 + (15t^2)/2 dt,,0≤x≤1),(1,,x>1):}$
$F_X (x)={(0,,x<0),(-(3x^5)/2 + (5x^3)/2,,0≤x≤1),(1,,x>1):}$ - $F_Y (y)={(0,,y<0),(\int_{0}^{y}5t^4 dt,,0≤y≤1),(1,,y>1):}$
$F_Y (y)={(0,,y<0),(y^5,,0≤y≤1),(1,,y>1):}$
- $m_Z=E(Z)=E(X-Y)=\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)15x^2 ydydx=-5/24$
- $σ_Z^2=Var(Z)=Var(X-Y)=E((X-Y)^2) - (E(X-Y))^2=$
$=\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)^2f(x,y)dxdy-(\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)f(x,y)dxdy)^2=$
$=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)^2 15x^2 ydydx - (\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)15x^2 ydydx)^2 = 113/4032$
Che ne pensate, è corretto? I miei dubbi riguardano, quando $X$ e $Y$ sono dipendenti come in questo caso, come ottenere gli estremi di integrazione corretti, soprattutto per le marginali. Spero che questo esercizio possa essere utile a qualcun altro.
