Test d'ipotesi

[albertocorra]

Buongiorno,

vorrei avere la conferma su come ho svolto un esercizio riguardante il test d'ipotesi.

In uno studio sugli effetti nocivi delle polveri respirate dagli operai di un'industria, si è trovato che 16 operai sui 120 visitati presentano forti disturbi respiratori. E' noto che il 10% della popolazione è affetta da tali disturbi. Verificare se la proprorzione osservata tra gli operai è maggiore della proporzione nella popolazione al livello $\alpha=0.05$

Svolgimento:

$\{(H0\to\pi= 0.1),(H1\to\pi<0.1):}$

Ricorrendo all’approssimazione Normale

$Z=(0,13-0,10)/sqrt(0.1*(1-0.1)/sqrt(120))=1,09$

Quindi $z=1,09<1.65 z_\alpha$ con $\alpha=0.05$ Di conseguenza si accetta l'ipotesi nulla.

Qualcuno potrebbe confermarmi che sia il procedimento che il risultato è corretto?
Grazie

[tommik]

Il risultato finale è corretto ma ci sono alcuni errori.

L'ipotesi alternativa è $mathcal(H)_1: pi>0.1$ altrimenti non vi sarebbe nulla da provare; i dati infatti dicono che la proporzione campionaria è $bar(pi)=16/120=0.1333$ e quindi si sottopone a verifica il fatto che $0.1333$ sia davvero maggiore di $0.1$.

Ciò premesso, hai pasticciato un po' nella formula del test (ma penso che tu abbia solo scritto male la radice) che mi viene circa $1.22<1.64$ e quindi correttamente hai accettato $mathcal(H)_0$ concludendo che $0.1333$ in realtà non è maggiore del 10% e le differenze riscontrate nel campionamento (con dati maggiori del 10%) sono del tutto casuali, dovute alla variabilità del fenomeno e non all'effetto nocivo dell'inalazione delle polveri.

Oltre a confrontare il valore del test con quello critico potresti risolvere nei seguenti modi:

1) Calcolando il punto critico per stabilire se $pi_1>10%$, ovvero facendo $bar(pi)>pi_0+sqrt((pi_0(1-pi_0))/n)*z_(alpha)=14.5%$ e quindi accetti, dato che la tua media è inferiore: $13.33%$

2) Calcolando il p-value del test che viene $P(Z>1.2172)=11.2%$ e quindi accetti l'ipotesi perché si rifiuta solo quando il p-value è più piccolo del livello di significatività.

Infine alcune note:

1) La formula corretta del test Z asintotico è:

$Z_("stat)=(0.1333-0 1)/sqrt (0.1*0.9) sqrt(120)~~1.22$

2) Pur non essendoci l'ipotesi di normalità del modello hai correttamente utilizzato lo Z-test essendo $npi=120*0.1=12>=5$

3) $13.33%$ non lo puoi arrotondare a $13%$, devi tenere almeno due decimali.

Sono stato un po' prolisso ma spero di averti chiarito meglio questo importante argomento del programma

Ciao ciao

[albertocorra]

Grazie mille per la risposta, si purtroppo ma c'erano un po' di refusi; era il primo che risolvevo con la proporzione campionaria . In ogni caso la tua risposta molto dettagliata ha chiarito ogni mio dubbio!