Siano $A$, $B$, $C$ tre eventi stocasticamente indipendenti e $D$ un evento tale che $D ⊃ A ∨ B$. Dimostrare che l'assegnazione $P(A) = P(B) = P(C) = 1/3$, $P(D) = 2/3$ è coerente e calcolare $P(A|A ∨ B ∨ C)$.
In quanto $A$, $B$ e $C$ sono stocasticamente indipendenti, si deve avere:
${(P(A ∧ B ∧ C)=P(A)P(B)P(C)=1/27),(P(A ∧ B)=P(A)P(B)=1/9),(P(A ∧ C)=P(A)P(C)=1/9),(P(B ∧ C)=P(B)P(C)=1/9):} rarr {(C1=1/27),(C1+C2=1/9),(C1+C3=1/9),(C1+C4=1/9):} rarr {(C1=1/27),(C2=2/27),(C3=2/27),(C4=2/27):}$
Abbiamo quindi:
${(C1+C2+C4+C5=P(A)),(C1+C2+C3+C6=P(B)),(C1+C3+C4+C7+C8=P(C)),(C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C9=P(D)),(C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=1),(C_i ≥ 0; i ∈ [0,10]):} rarr {(C1+C2+C4+C5=1/3),(C1+C2+C3+C6=1/3),(C1+C3+C4+C7+C8=1/3),(C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C9=2/3),(C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=1),(C_i ≥ 0; i ∈ [0,10]):} rarr {(C5 = 1/3 - 5/27 = 4/27),(C6 = 1/3 - 5/27 = 4/27), (C7+C8 = 1/3 - 5/27 = 4/27),(C7+C9=2/3 -15/27 = 1/9),(C8+C10 = 1 - 2/3 = 1/3), (C9+C10 = 1 - 19/27 = 8/27):} rarr 0 ≤ C7 ≤ 1/9 rarr {(C8 = 4/27 - C7; 1/27 ≤ C8 ≤ 4/27), (C9 = 1/9 - C7; 0 ≤ C9 ≤ 1/9), (C10 = 5/27 + C7; 5/27 ≤ C10 ≤ 8/27):}$
Infine:
$C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=1 rarr 1/27 + 2/27 + 2/27 + 2/27 + 4/27 + 4/27 + C7 + 4/27 - C7 + 1/9 - C7 + 5/27 + C7 = 1 rarr text(True)$
Quindi l'assegnazione di probabilità è coerente, come da testo.
$P(A|A ∨ B ∨ C) = (P(A))/(P(A ∨ B ∨ C)) = (1/3)/(19/27) = 9/19$
È corretta l'assegnazione di probabilità?