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Ciao ragazzi, ho due variabili $X_1$, $X_2$ continue e indipendenti con densità rispettivamente
$$f_{X_1}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{24}(x^2+1) & x\in[1,4]\\
0 & altrove\end{cases}$$
e $X_2$ uniforme in $[-1,2]$, quindi
$$f_{X_2}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{3} & x\in[-1,2]\\
0 & altrove\end{cases}$$

Devo determinare il valore atteso $E(X_1^{X_2})$
L'unica strada percorribile che mi viene in mente è la seguente:
$$Z=X_1^{X_2}\ \Rightarrow ln(Z)=lnX_1^{X_2}=X_2ln(X_1)$$
Da cui, sfruttando anche l'ipotesi di indipendenza, ottengo:
$$E(ln(Z))=E(X_2)E(ln(X_1))$$
Ma una volta che ho calcolato $E(ln(Z))$ non mi pare possa risalire al valore di $E(Z)$...

Formule aggiornate. Grazie!

$E[X^Y]=1/72int_(1)^(4)int_(-1)^(2)x^y (x^2+1)dxdy~~2.66$

non è proprio un integrale simpatico...io ho usato il calcolatore; per farlo manualmente occorrono le normali tecniche di approssimazione numerica.

Come volevi fare tu, in maniera piuttosto semplice puoi arrivare ad avere un limite inferiore per la media utlilizzando la disuguaglianza di Jensen

$E[X^Y]=E[Z]$

$E[logZ]=E[Y]E[logX]=1/2*1.0466$

$E[log(Z)]>logE[Z]$

$E[X^Y]>e^(1/2*1.0466)=1.69$

spero di esserti stato utile....oltretutto non hai contestualizzato l'esercizio: è un problema che devi risolvere tu? di che esame si tratta?

(statistica lo hai già dato....)


ciao

Il tuo svolgimento risulta chiaro solo che non penso che nel programma il prof. abbia inserito la disuguaglianza di Jensen.
Chiedo e ti faccio sapere.
Io l'ho data statistica e adesso sto aiutando una mia amica che studia appunto in un corso di Statistica all'uni di Trieste.
L'esercizio è uno di quelli presenti a fine capitolo 4 dell'allegato a questo messaggio.
Altro non ti so dire.

ho visto la dispensa, la sto leggendo ed è davvero molto ben fatta... per risolvere il problema penso debba svolgere l'integrale; il problema a livello Statistico si risolve come ho indicato, il resto sono problemi di conteggio (di analisi) e l'integrale in oggetto si può risolvere solo con tecniche di approssimazione numerica.

Se la tua amica ha bisogno di aiuto sarebbe meglio che si iscrivesse piuttosto che parlare per interposta persona...non trovi?

Hai perfettamente ragione tommik. La invoglierò a iscriversi. Grazie ancora di tutto!