Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda marcorossi94 » 05/07/2018, 09:14

Premetto che non ricordo molto di questo argomento. Però ricordo che la fc derivata mi dà i momenti della mia VA, a meno di qualche potenza di i. La fgm invece derivata mi dà i momenti, senza la i, perché reale.
Mi sembra quasi che siano la stessa cosa, una reale e l'altra complessa.
Mi chiedo: che differenze ci sono tra le due? E perché dovrei usare quella complessa quando ne esiste una che fa lo stesso lavoro ma reale?

Grazie a chi mi illumina
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Re: Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda tommik » 05/07/2018, 09:22

Molto sinteticamente e riassuntivamente diciamo che:

il problema è esattamente l'opposto! è dalla funzione caratteristica (caso più generale) che, restringendo il dominio ad $RR$, si trova la $M_X(t)$

La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier1 della densità di probabilità $f(x)$ e, al contario della FGM, esiste sempre (l'integrale che la definisce non diverge mai) per qualsiasi variabile casuale.

La funzione generatrice dei momenti $M_X(t): RR rarr RR$ è invece la Trasformata di Laplace di $f(x)$ ed esiste se l'integrale che la definisce è finito in un intorno di $t=0$

Quindi la domanda va rigirata: perché usare la funzione caratteristica "ristretta" ai reali?

Perché è più comoda e, per calcoli elementari come:

i) Calcolare i momenti di una gaussiana o altra distribuzione nota

ii) Dimostrare che la somma di $n$ chi-quadro indipendenti è ancora una chi-quadro

iii) Dimostrare che la Binomiale converge (al limite) ad una Poisson

basta e avanza....anzi per i calcoli elementari cui viene utilizzata è anche meglio: infatti, a differenza della funzione caratteristica, l'esistenza della $M_X(t)$ garantisce l'esistenza di tutti i momenti della variabile casuale.

Le due funzioni godono di proprietà simili....e dico simili, non identiche.

Sono andato un po' a memoria ma ovviamente puoi trovare tutti i dettagli su qualunque testo elementare di Statistica.

Note

  1. a meno del fattore $1/(2pi)$; per la precisione è la Trasformata di Fourier Stieltjes
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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Re: Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda marcorossi94 » 05/07/2018, 10:14

grazie mille Tommik ;)
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Re: Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda mobley » 17/06/2019, 15:44

Riprendo questo post perchè chiede esattamente ciò che vorrei sapere anch'io.
tommik ha scritto:La funzione caratteristica $psi_(X)(t): RR rarr CC$ è la Trasformata di Fourier della densità di probabilità $f(x)$

Dunque funzione caratteristica e trasformata di Fourier possono considerarsi sinonimi, giusto? Perché così fosse (e da quanto ho capito io lo è), che senso avrebbe voler studiare (cito testualmente) "come è fatta la funzione caratteristica associata alla trasformata di Fourier nel modello di Heston" (ricorrendo, per farlo, alla struttura dei modelli affini)?
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Re: Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda arnett » 17/06/2019, 15:54

Mobley, ho visto altrove il tuo post sulla trasformata di Fourier e volevo pure risponderti ma ho poco tempo in questo periodo e non riesco a fare post lunghi.

Però stai attento: ci sono una valanga di possibili definizioni di trasformata di Fourier a seconda del nucleo integrale che si utilizza. Mentre siamo tutti d'accordo che il nucleo della funzione caratteristica sia $e^{i\xix}$, le possibilità per la trasformata di Fourier sono diverse. Questo complica le cose.
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Re: Funzione caratteristica VS generatrice di momenti

Messaggioda mobley » 17/06/2019, 15:59

Grazie arnett per la risposta. E non preoccuparti anzi, qualsiasi intervento (anche mezza riga :-D ) è più che ben accetto!
arnett ha scritto:Però stai attento: ci sono una valanga di possibili definizioni di trasformata di Fourier a seconda del nucleo integrale che si utilizza. Mentre siamo tutti d'accordo che il nucleo della funzione caratteristica sia $e^{i\xix}$, le possibilità per la trasformata di Fourier sono diverse. Questo complica le cose.

Temo però di non aver capito cosa intendi... Potresti spiegarti meglio?
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