Calcolo costante data pdf congiunta e dominio avente dei massimi

[IngSteve]

Ciao ragazzi, sto provando a svolgere questo esercizio di probabilità ma non riesco a fare il primo punto in quanto il dominio ha devi punti di massimo e non so come venirne a capo... Vi posto il testo dell'esercizio:

"Detta  una costante reale, siano X e Y due variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf
congiunta:
$ f_(XY)(x,y)={(alpha*y if AA(x,y)inD),(0 if ALTRIMENTI):} $

dove $D = {-1<=x<=1, max(-x,0)<=y<=1-max(x,0)}$

$a)$ Dopo aver disegnato D, determinare il valore di  in modo che fXY (x; y) sia una valida pdf.
$b)$Calcolare le pdf marginali di X ed Y , rappresentarle graficamente e verificare che siano valide.
$c)$Calcolare il valore di P(Y < X) (esprimere il risultato in forma frazionaria)."

Utilizzando la condizione di normalizzazione viene:

$ int_{-1}^{1}int_{max(-x,0)}^{1-max(x,0)}alphaydxdy=1 $ ma come risolvo? Quei punti di massimo mi buttano fuori strada...

Comunque, il grafico l'ho disegnato così, ditemi se ho fatto bene:

[tommik]

Hai fatto tutto per bene. Una volta disegnato il dominio hai anche le equazioni delle rette che lo delimitano.
Ora ti basta integrare su quel parallelogramma la densità congiunta e normalizzare. Se integri y-semplice non devi nemmeno spezzare l'integrale


$int_(0)^(1)ydyint_(-y)^(1-y)dx=...=1/2 rarr alpha=2$

... non riesco a fare il primo punto

Quindi immagino che per gli altri punti sia tutto ok. Ad ogni modo ecco i risultati per un tuo controllo.

$f_X(x)={{: ( 1-x^2 , ;-1<=x<0 ),( (1-x)^2 , ;0<=x<=1 ),( 0 , ; "altrove" ) :}$

$f_Y(y)=2yI_([0;1])(y)$

Si verifica facilmente (la $f_Y$ anche solo disegnandola, l'altra necessariamente integrandola) che sono effettivamente due valide densità di probabilità.

Infine,

$P(Y<X)=1/12$

[IngSteve]

Innanzi tutto grazie per la risposta, se lo reputi necessario cancello l'immagine e scrivo tutto il testo dell'esercizio, mi scuso per aver infranto il regolamento.

Potresti spiegarmi per favore come faccio a calcolare gli estremi di integrazione? Io sono riuscito a fare il grafico anche aiutandomi con Wolfrom ma non è chiari come scegliere l'estremo di integrazione... Per la x io avrei messo, come sta nel dominio, -1 e 1, mentre non sono riuscito a calcolare quelli di y... Forse, variando y tra i massimi di x avrei scelto -1 e 0 ma verrebbe $alpha=-1$... come hai fatto a trovare quegli estremi?

[tommik]

Se hai tempo e voglia, con calma, puoi sostituire l'immagine con le formule....la ratio della regola è che dopo un po' le immagini scadono ed il topic rimane orfano (quindi va bene l'immagine del grafico ma non quella con il testo del problema)


Per gli estremi mah...mi pare banale, non capisco cosa tu non capisca....se hai fatto degli integrali doppi non dovresti trovare problemi...

la $y$ varia da zero a uno mentre la x varia da $-y$ a $(1-y)$

Oppure puoi integrare $x$ semplice, facendo variare $-1<=x<=1$ ma devi spezzare l'integrale.....

$int_(-1)^(0)dxint_(-x)^(1)alphaydy+int_(0)^(1)dxint_(0)^(1-x)alphaydy=1 rarr alpha=2$

ma è una complicazione inutile.....devi sempre scegliere il verso di integrazione più semplice.

[IngSteve]

Aahh si, si, giusto! Che sciocco! Grazie 1000 per il tuo aiuto, a breve correggerò anche il quesito, magari ai posteri potrà tornare utile!